等比数列の一般項と和について説明します。
まず，等比数列とはどのような数列かを理解することが重要です。
大学入試において，等比数列の一般項だけを求める問題は少なく，一般項を求めてからが本番という問題が多いのですが，一般項を正しく求めることができないと大失点につながるため，一般項を正確に求めることができるようにすることが大切です。
また，等比数列の和の公式については，その求め方を理解することが重要です。さらに難しい数列の和を求めるときに役に立ちます。
等比数列の一般項と和を正確に求められるようにしましょう。
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等比数列の一般項と和
ヒロ
等比数列の定義は次の通りである。
等比数列隣り合う2項の比が一定の数列を等比数列という。また，隣り合う2項の比を公比という。
ヒロ
次に等比数列の一般項は次のように求めることができる。
初項 a，公比 r の等比数列の第 n 項を a_n とする。初項に公比を1回かけると第2項になり，初項に公比を2回かけると第3項になることを考えると，初項に公比を n-1 回かけると第 n 項になることが分かるから，一般項は
(i) r=1 のとき
①より
②より
\begin{align*} a_n=a\Cdota r^{n-1} \end{align*}
となる。初項から第 n 項までの和を S_n とすると\begin{align*} S_n=a+ar+\cdots+ar^{n-1}~\cdots\cdots① \end{align*}
①の両辺に r をかけると\begin{align*} rS_n=ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+ar^n~\cdots\cdots② \end{align*}
①-② より\begin{align*} (1-r)S_n=a(1-r^n)~\cdots\cdots② \end{align*}
1-r が0かどうかで場合分けしよう。(i) r=1 のとき
①より
\begin{align*} S_n&=\overbrace{a+a+\cdots+a}^{n個}=an \end{align*}
(ii) r\neq1 のとき②より
\begin{align*} S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r} \end{align*}
2021年 松山大
2021年 松山大初項から第3項までの和が28，初項から第6項までの和が -728 であるとき，この等比数列の初項は \myhako であり，公比は \myhako である。ただし，公比は実数とする。
【解答と考え方】
この等比数列の初項を a，公比を r とする。初項から第3項までの和が28であるから
このとき①より
この等比数列の初項を a，公比を r とする。初項から第3項までの和が28であるから
\begin{align*} &a+ar+ar^2=28~\cdots\cdots① \end{align*}
初項から第6項までの和が -728 であるから\begin{align*} &a+ar+ar^2+ar^3+ar^4+ar^5=-728 \\[4pt] &(a+ar+ar^2)+r^3(a+ar+ar^2)=-728 \end{align*}
①より\begin{align*} &28+28r^3=-728 \\[4pt] &28r^3=-756 \\[4pt] &r^3=-27 \end{align*}
r は実数だから，r=-3このとき①より
\begin{align*} &a-3a+9a=28 \\[4pt] &7a=28 \\[4pt] &a=4 \end{align*}
よって，初項は4，公比は -3 である。ヒロ
今回の問題では，初項から第6項までの和を初項から第3項までの和と第4項から第6項までの和に分けることで，公比 r^3 の等比数列と見ることもできる。