定積分を含む関数に関する問題を解説します。
tの関数の定積分の計算において，積分区間の一端，または両端がxが含まれているとき，その定積分の結果はxの関数になります。
そのような問題に対して，どのように考えるのかを知ることが重要です。一つ一つ解ける問題を増やしていきましょう。
積分区間がxを含む定積分
ヒロ
積分区間が $x$ を含む定積分について，次のことを知っておこう。
定積分の微分 $\dint{a}{x}f(t)\;dt$ を $x$ で微分すると $f(x)$ になる。これを等式で表すと次のようになる。
\begin{align*}
\dfrac{d}{dx}\dint{a}{x}f(t)\;dt=f(x)
\end{align*}
\dfrac{d}{dx}\dint{a}{x}f(t)\;dt=f(x)
\end{align*}
【証明】
$f(t)$ の原始関数を $F(t)$ とすると
また，このような定積分を含む問題では，$x=a$ のときを考えて
$f(t)$ の原始関数を $F(t)$ とすると
\begin{align*}
\dint{a}{x}f(t)\;dt&=\tint{F(t)}{a}{x} \\[4pt]
&=F(x)-F(a)
\end{align*}
したがって\dint{a}{x}f(t)\;dt&=\tint{F(t)}{a}{x} \\[4pt]
&=F(x)-F(a)
\end{align*}
\begin{align*}
\dfrac{d}{dx}\dint{a}{x}f(t)\;dt&=\dfrac{d}{dx}(F(x)-F(a)) \\[4pt]
&=f(x)
\end{align*}
$F(a)$ は定数であるから微分すると0になることに注意しよう。\dfrac{d}{dx}\dint{a}{x}f(t)\;dt&=\dfrac{d}{dx}(F(x)-F(a)) \\[4pt]
&=f(x)
\end{align*}
また，このような定積分を含む問題では，$x=a$ のときを考えて
\begin{align*}
\dint{a}{x}f(t)\;dt=\dint{a}{a}f(t)\;dt=0
\end{align*}
となることも利用することを覚えておこう。\dint{a}{x}f(t)\;dt=\dint{a}{a}f(t)\;dt=0
\end{align*}
2021年 神奈川大
2021年 神奈川大$x$ の関数 $f(x)$ は $\dint{0}{x}(f(t)+2t)\;dt=x^3+x^2+x$ を満たす。このとき，$f(x)=\myhako$ である。
【解答と考え方】
$\dint{0}{x}(f(t)+2t)\;dt=x^3+x^2+x$ の両辺を $x$ で微分すると
$\dint{0}{x}(f(t)+2t)\;dt=x^3+x^2+x$ の両辺を $x$ で微分すると
\begin{align*}
&f(x)+2x=3x^2+2x+1 \\[4pt]
&f(x)=3x^2+1
\end{align*}
&f(x)+2x=3x^2+2x+1 \\[4pt]
&f(x)=3x^2+1
\end{align*}
2021年 南山大
2021年 南山大$a$ は実数とし，関数 $f(x)$ が $f(x)+\dint{a}{x}f'(t)\;dt=x^2+8x$ を満たすとき，$f'(x)=\myhako$ である。さらに，$f(0)=-8$ のとき，$a=\myhako$ である。
【解答と考え方】
$f(x)+\dint{a}{x}f'(t)\;dt=x^2+8x~\cdots\cdots①$ の両辺を $x$ で微分すると
よって，$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+4x-8$
ここで，①において，$x=a$ とすると
$f(x)+\dint{a}{x}f'(t)\;dt=x^2+8x~\cdots\cdots①$ の両辺を $x$ で微分すると
\begin{align*}
&f'(x)+f'(x)=2x+8 \\[4pt]
&f'(x)=x+4~\cdots\cdots②
\end{align*}
②より&f'(x)+f'(x)=2x+8 \\[4pt]
&f'(x)=x+4~\cdots\cdots②
\end{align*}
\begin{align*}
f(x)&=\dint{}{}(x+4)\;dx \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}x^2+4x+C（Cは積分定数）
\end{align*}
$f(0)=-8$ より $C=-8$f(x)&=\dint{}{}(x+4)\;dx \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}x^2+4x+C（Cは積分定数）
\end{align*}
よって，$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+4x-8$
ここで，①において，$x=a$ とすると
\begin{align*}
f(a)=a^2+8a
\end{align*}
であるからf(a)=a^2+8a
\end{align*}
\begin{align*}
&\dfrac{1}{2}a^2+4a-8=a^2+8a \\[4pt]
&a^2+8a+16=0 \\[4pt]
&(a+4)^2=0 \\[4pt]
&a=-4
\end{align*}
&\dfrac{1}{2}a^2+4a-8=a^2+8a \\[4pt]
&a^2+8a+16=0 \\[4pt]
&(a+4)^2=0 \\[4pt]
&a=-4
\end{align*}
2021年 名城大
2021年 名城大$a$ を定数とし，関数 $F(x)$ を $F(x)=\dint{0}{x}(t^2+at+a)\;dt$ と定める。次の各問に答えよ。
(1) 関数 $F(x)$ が極値をもたないような $a$ の範囲を求めよ。
(2) 関数 $F(x)$ が極大値 $M$，極小値 $m$ をとり，$M+m=-\dfrac{7}{6}$ であるとき，$a$ の値を求めよ。
(1) 関数 $F(x)$ が極値をもたないような $a$ の範囲を求めよ。
(2) 関数 $F(x)$ が極大値 $M$，極小値 $m$ をとり，$M+m=-\dfrac{7}{6}$ であるとき，$a$ の値を求めよ。
【(1)の解答と考え方】
$F(x)=\dint{0}{x}(t^2+at+a)\;dt$ を $x$ で微分すると
$F(x)=\dint{0}{x}(t^2+at+a)\;dt$ を $x$ で微分すると
\begin{align*}
F'(x)=x^2+ax+a
\end{align*}
となる。$F(x)$ が極値をもたないのは，$F'(x)$ の符号が変化しないときであるから，$F'(x)=0$ の判別式を $D$ とすると，$D\leqq0$ のときである。F'(x)=x^2+ax+a
\end{align*}
\begin{align*}
&D=a^2-4a\leqq0 \\[4pt]
&a(a-4)\leqq0 \\[4pt]
&0\leqq a\leqq4
\end{align*}
&D=a^2-4a\leqq0 \\[4pt]
&a(a-4)\leqq0 \\[4pt]
&0\leqq a\leqq4
\end{align*}
ヒロ
3次関数が極値をもたない条件については，次の記事で解説している。
(2) 関数 $F(x)$ が極大値 $M$，極小値 $m$ をとり，$M+m=-\dfrac{7}{6}$ であるとき，$a$ の値を求めよ。
【(2)の解答と考え方】
$F(x)$ が極値をもつときは $D>0$ のときであるから
$F(x)$ が極値をもつときは $D>0$ のときであるから
\begin{align*}
&D=a(a-4)>0 \\[4pt]
&a<0,~4<a \end{align*}
このとき，$F'(x)=0$ は異なる2つの実数解をもち，$\alpha,~\beta~(\alpha<\beta)$ とすると&D=a(a-4)>0 \\[4pt]
&a<0,~4<a \end{align*}
\begin{align*} F'(x)=x^2+ax+a=(x-\alpha)(x-\beta) \end{align*}
となる。よって，$F(x)$ の増減は次のようになる。\begin{align*} \begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline x & \cdots & \alpha & \cdots & \beta & \cdots \\\hline F'(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline F(x) & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow \\\hline \end{array} \end{align*}
したがって，\begin{align*} M=F(\alpha),~m=F(\beta) \end{align*}
となるから\begin{align*} M+m&=F(\alpha)+F(\beta) \\[4pt] &=\dint{0}{\alpha}(t^2+at+a)\;dt+\dint{0}{\beta}(t^2+at+a)\;dt \\[4pt] &=\Tint{\dfrac{1}{3}t^3+\dfrac{1}{2}at^2+at}{0}{\alpha}+\Tint{\dfrac{1}{3}t^3+\dfrac{1}{2}at^2+at}{0}{\beta} \\[4pt] &=\dfrac{1}{3}(\alpha^3+\beta^3)+\dfrac{1}{2}a(\alpha^2+\beta^2)+a(\alpha+\beta) \end{align*}
ここで，解と係数の関係より \begin{align*} \alpha+\beta=-a,~\alpha\beta=a \end{align*}
であるから\begin{align*} \alpha^3+\beta^3&=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta) \\[4pt] &=(-a)^3-3a(-a) \\[4pt] &=-a^3+3a^2 \\[4pt] \alpha^2+\beta^2&=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta \\[4pt] &=(-a)^2-2a \\[4pt] &=a^2-2a \end{align*}
したがって，\begin{align*} M+m&=\dfrac{1}{3}(-a^3+3a^2)+\dfrac{1}{2}a(a^2-2a)-a^2 \\[4pt] &=\dfrac{1}{6}a^3-a^2 \end{align*}
$M+m=-\dfrac{7}{6}$ より \begin{align*} &\dfrac{1}{6}a^3-a^2=-\dfrac{7}{6} \\[4pt] &a^3-6a^2+7=0 \\[4pt] &(a+1)(a^2-7a+7)=0 \\[4pt] &a=-1,~\dfrac{7\pm\sqrt{21}}{2} \end{align*}
$a<0,~4<a$ より，$a=-1,~\dfrac{7+\sqrt{21}}{2}$