【数学ⅡB】領域と最大・最小【学習院大・酪農学園大】

【考え方と解答】
　分数式の最大値を求めるのかと驚く人もいるかもしれないが，$k$ とおいて調べよう。
　$\dfrac{y}{x^2}=k$ とおくと，$y=kx^2$ と変形できるから，$k\neq0$ のとき，そのグラフは原点を頂点とする放物線となる。$\abs{k}$ が大きくなるほど放物線の開き具合が小さくなり，$\abs{k}$ が小さくなるほど放物線の開き具合が大きくなる。また，$k=0$ となるのは $y=0$ のときである。
　領域 $D$ の境界線は3つの直線で，それらの方程式は次のようになる。
3直線の交点を求めると，A$\left(\dfrac{3}{2},~1\right)$，B$\left(\dfrac{5}{2},~1\right)$，C$\left(\dfrac{5}{2},~3\right)$ となり，領域 $D$ は下図の斜線部分（境界を含む）となる。

　点 $(x,~y)$ は領域 $D$ 内を動くから，$\dfrac{y}{x^2}=k$ とおくと，$k>0$ となる。$y=kx^2$ と変形すると，グラフは原点を頂点とする下に凸の放物線であることが分かる。放物線 $y=kx^2$ が直線 $2x-y-2=0$ と接するときを考える。二式より $y$ を消去すると
判別式を $D$ とすると $D=0$ より
このとき，接点の $x$ 座標は
となるから，接点は線分AC上にある。したがって，$k$ の最大値は $\dfrac{1}{2}$ である。

　次に $k$ の最小値を求める。$k$ が最小になるのは，放物線 $y=kx^2$ が点Bを通るときであるから


　したがって，$\dfrac{y}{x^2}$ は $(x,~y)=(2,~2)$ のとき，最大値 $\dfrac{1}{2}$ をとり，$(x,~y)=\left(\dfrac{5}{2},~1\right)$ のとき，最小値 $\dfrac{4}{25}$ をとる。