2018年 センター試験 数学ⅡB 第1問 三角関数

2018年センター試験数学ⅡB 第1問三角関数の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2018年センターⅡB 三角関数(1) 1ラジアンとは，$\myBox{ア}$ のことである。$\myBox{ア}$ に当てはまるものを，次の⓪～③のうちから一つ選べ。
⓪ 半径が1，面積が1の扇形の中心角の大きさ
⓪ 半径が $\pi$，面積が1の扇形の中心角の大きさ
⓪ 半径が1，弧の長さが1の扇形の中心角の大きさ
⓪ 半径が $\pi$，弧の長さが1の扇形の中心角の大きさ
(2) 144$\Deg$ を弧度で表すと $\dfrac{\myBox{イ}}{\myBox{ウ}}~\pi$ ラジアンである。また，$\dfrac{23}{12}\pi$ ラジアンを度で表すと $\myBox{エオカ}\Deg$ である。
(3) $\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\pi$ の範囲で

\begin{align*}
2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{5}\right)-2\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{30}\right)=1 \cdots\cdots①
\end{align*}

を満たす $\theta$ の値を求めよう。
　$x=\theta+\dfrac{\pi}{5}$ とおくと，①は

\begin{align*}
2\sin x-2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{\myBox{キ}}\right)=1
\end{align*}

と表せる。加法定理を用いると，この式は

\begin{align*}
\sin x-\sqrt{\myBox{ク}}\cos x=1
\end{align*}

となる。さらに，三角関数の合成を用いると

\begin{align*}
\sin\left(x-\dfrac{\pi}{\myBox{ケ}}\right)=\dfrac{1}{\myBox{コ}}
\end{align*}

と変形できる。$x=\theta+\dfrac{\pi}{5},~\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\pi$ だから，$\theta=\dfrac{\myBox{サシ}}{\myBox{スセ}}~\pi$ である。

Contents

1 (1)の解答
2 (2)の解答
3 (3)の解答
4 2018年センター数学ⅡB 三角関数を解いた感想

(1)の解答

ヒロ

最初は弧度法の単位のラジアンの理解を問う問題だね。

【アの解答】
1ラジアンとは，半径が1，弧の長さが1の扇形の中心角の大きさであるから，$\myBox{ア}=②$

(2)の解答

ヒロ

次は度数法と弧度法の変換の問題。180$\Deg$ が $\pi$ ラジアンであることを利用しよう。

【イ～カの解答】

\begin{align*}
&144\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{4}{5}\pi \\[4pt]
&\dfrac{23}{12}\pi\times\dfrac{180}{\pi}=345\Deg
\end{align*}

(3)の解答

ヒロ

誘導に乗って，①を $x$ の方程式に書き直そう。

【キの解答】
$x=\theta+\dfrac{\pi}{5}$ とおくと，

\begin{align*}
\theta+\dfrac{\pi}{30}&=x-\dfrac{\pi}{5}+\dfrac{\pi}{30} \\[4pt]
&=\theta-\dfrac{\pi}{6}
\end{align*}

となるから，①は

\begin{align*}
&2\sin x-2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=1
\end{align*}

と表せる。

ヒロ

ここから加法定理を用いて変形していこう。

【クの解答】

\begin{align*}
&2\sin x-2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=1 \\[4pt]
&2\sin x-2\left(\cos x\cos\dfrac{\pi}{6}+\sin x\sin\dfrac{\pi}{6}\right)=1 \\[4pt]
&2\sin x-(\sqrt{3}\cos x+\sin x)=1 \\[4pt]
&\sin x-\sqrt{3}\cos x=1
\end{align*}

ヒロ

次は三角関数の合成を用いて角をまとめよう。

【ケコの解答】

\begin{align*}
&\sin x-\sqrt{3}\cos x=1 \\[4pt]
&2\left(\sin x\Cdota\dfrac{1}{2}-\cos x\Cdota\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=1 \\[4pt]
&2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=1 \\[4pt]
&\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}
\end{align*}

ヒロ

最後は条件を満たす $\theta$ の値を求めよう。

【サ～セの解答】
$x=\theta+\dfrac{\pi}{5}$ より

\begin{align*}
x-\dfrac{\pi}{3}&=\theta+\dfrac{\pi}{5}-\dfrac{\pi}{3} \\[4pt]
&=\theta-\dfrac{2}{15}\pi
\end{align*}

であるから，$\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\pi$ のとき

\begin{align*}
&\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2}{15}\pi\leqq x-\dfrac{\pi}{3}\leqq\pi-\dfrac{2}{15}\pi
\end{align*}

よって，$\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$ より

\begin{align*}
&x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5}{6}\pi \\[4pt]
&\theta-\dfrac{2}{15}\pi=\dfrac{5}{6}\pi \\[4pt]
&\theta=\dfrac{25+4}{30}\pi=\dfrac{29}{30}\pi
\end{align*}