2020年センター試験 数学ⅠA 第5問 平面図形

2020年センター試験数学ⅠA 第1問平面図形の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2020年センターⅠA 第1問平面図形$\sankaku{ABC}$ において，辺BCを $7:1$ に内分する点をDとし，
辺ACを $7:1$ に内分する点をEとする。線分ADと線分BEの交点をFとし，
直線CFと辺ABの交点をGとすると

\begin{align*}
\dfrac{\mathrm{GB}}{\mathrm{AG}}=\myBox{ア},~
\dfrac{\mathrm{FD}}{\mathrm{AF}}=\dfrac{\myBox{イ}}{\myBox{ウ}},~
\dfrac{\mathrm{FC}}{\mathrm{GF}}=\dfrac{\myBox{エ}}{\myBox{オ}}
\end{align*}

である。したがって

\begin{align*}
\dfrac{\sankaku{CDG}の面積}{\sankaku{BFG}の面積}=\dfrac{\myBox{カ}}{\myBox{キク}}
\end{align*}

　4点B，D，F，Gが同一円周上にあり，かつ $\mathrm{FD}=1$ のとき

\begin{align*}
\mathrm{AB}=\myBox{ケコ}
\end{align*}

である。さらに，$\mathrm{AE}=3\sqrt{7}$ とするとき， $\mathrm{AE}\Cdot\mathrm{AC}=\myBox{サシ}$ であり

\begin{align*}
\kaku{AEG}=\myBox{ス}
\end{align*}

である。$\mybox{ス}$ に当てはまるものを，次の⓪～③のうちから一つ選べ。
⓪ $\kaku{BGE}$　① $\kaku{ADB}$　② $\kaku{ABC}$　③ $\kaku{BAD}$

Contents

1 考え方と解答
2 2020年センター数学ⅠA 平面図形を解いた感想

考え方と解答

ヒロ

まずは適当な図を描いて状況を把握しよう。

【状況把握するための図】

ヒロ

通常ならチェバの定理・メネラウスの定理を活用するところだけど，面倒なので速答法で処理しよう。

三角形と辺の比$\sankaku{ABC} $において，$\mathrm{AR:RB}=a:b$, $\mathrm{AQ:QC}=c:d$ であるとする。

次の図のように，BRとCQが同じ値になるように比を直すと，同じ色の部分は同じ数字になる。

また，

\begin{align*}
\mathrm{AD:DP}=(ad+bc):bd
\end{align*}

が成り立つ。$\mathrm{BD:DQ}$, $\mathrm{CD:DR}$ も同様に求めることができる。

【ア～オの解答】
分かりやすく色を付けて，数字を書くと次のようになる。

これより

\begin{align*}
&\dfrac{\mathrm{GB}}{\mathrm{AG}}=1,~\dfrac{\mathrm{FD}}{\mathrm{AF}}=\dfrac{1}{8},~\dfrac{\mathrm{FC}}{\mathrm{GF}}=\dfrac{2}{7}
\end{align*}

ヒロ

次は三角形の面積比を求める問題。

【カ～クの解答】
$\sankaku{CDG}$ は下図の斜線部分である。

$\sankaku{ABC}$ の面積を $S$ とすると

\begin{align*}
\sankaku{CDG}&=\dfrac{1}{8}\sankaku{CBG} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{8}\Cdota\dfrac{1}{2}\sankaku{ABC} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{16}S
\end{align*}

また，$\sankaku{BFG}$ は下図の斜線部分である。

$\sankaku{BFG}$ の面積を $S$ で表すと次のようになる。

\begin{align*}
\sankaku{BFG}&=\dfrac{7}{9}\sankaku{BCG} \\[4pt]
&=\dfrac{7}{9}\Cdota\dfrac{1}{2}\sankaku{ABC} \\[4pt]
&=\dfrac{7}{18}S
\end{align*}

よって

\begin{align*}
\dfrac{\sankaku{CDG}の面積}{\sankaku{BFG}の面積}
&=\dfrac{\dfrac{1}{16}S}{\dfrac{7}{18}S} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{16}\Cdota\dfrac{18}{7} \\[4pt]
&=\dfrac{9}{56}
\end{align*}