2017年センター試験 数学ⅡB 第3問数列の解説をします。
まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。
(1) 等比数列 $\{s_n\}$ の初項が1，公比が2であるとき
s_1s_2s_3=\myBox{ア},~s_1+s_2+s_3=\myBox{イ}
\end{align*}
(2) $\{s_n\}$ を初項 $x$，公比 $r$ の等比数列とする。$a,~b$ を実数（ただし $a\neq0$）とし，$\{s_n\}$ の最初の3項が
&s_1s_2s_3=a^3~\cdots\cdots① \\[4pt]
&s_1+s_2+s_3=b~\cdots\cdots②
\end{align*}
xr=\myBox{ウ}~\cdots\cdots③
\end{align*}
\myBox{エ}~r^2+\left(\myBox{オ}-\myBox{カ}\right)r+\myBox{キ}=0~\cdots\cdots④
\end{align*}
\myBox{ク}~a^2+\myBox{ケ}~ab-b^2\leqq0~\cdots\cdots⑤
\end{align*}
逆に，$a,~b$ が⑤を満たすとき，③，④を用いて $r,~x$ の値を求めることができる。
(3) $a=64,~b=336$ のとき，(2)の条件①，②を満たし，公比が1より大きい等比数列 $\{s_n\}$ を考える。③，④を用いて $\{s_n\}$ の公比 $r$ と初項 $x$ を求めると，$r=\myBox{コ}$，$x=\myBox{サシ}$ である。
$\{s_n\}$ を用いて，数列 $\{t_n\}$ を
t_n=s_n\log_{\mybox{コ}}s_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)
\end{align*}
t_n=\left(n+\myBox{ス}\right)\Cdota\mybox{コ}^{~n+\myBox{セ}}
\end{align*}
U_n=\dfrac{\myBox{ソ}~n+\myBox{タ}}{\myBox{チ}}\Cdot\mybox{コ}^{~n+\myBox{ツ}}-\dfrac{\myBox{テト}}{\myBox{ナ}}
\end{align*}
(1)の解答
等比数列の初項と公比が与えられているから簡単な計算問題だね。
s_1s_2s_3&=1\times2\times2^2 \\[4pt]
&=8 \\[4pt]
s_1+s_2+s_3&=1+2+2^2 \\[4pt]
&=7
\end{align*}
(2)の解答
(2) $\{s_n\}$ を初項 $x$，公比 $r$ の等比数列とする。$a,~b$ を実数（ただし $a\neq0$）とし，$\{s_n\}$ の最初の3項が
\begin{align*}を満たすとする。このとき
&s_1s_2s_3=a^3~\cdots\cdots① \\[4pt]
&s_1+s_2+s_3=b~\cdots\cdots②
\end{align*}\begin{align*}である。さらに，②，③を用いて $r,~a,~b$ の満たす関係式を求めると
xr=\myBox{ウ}~\cdots\cdots③
\end{align*}\begin{align*}を得る。④を満たす実数 $r$ が存在するので
\myBox{エ}~r^2+\left(\myBox{オ}-\myBox{カ}\right)r+\myBox{キ}=0~\cdots\cdots④
\end{align*}\begin{align*}である。
\myBox{ク}~a^2+\myBox{ケ}~ab-b^2\leqq0~\cdots\cdots⑤
\end{align*}
逆に，$a,~b$ が⑤を満たすとき，③，④を用いて $r,~x$ の値を求めることができる。
与えられた条件を使って求めていこう。とりあえず①を変形してみよう。
①より
&x\times xr\times xr^2=a^3 \\[4pt]
&(xr)^3=a^3
\end{align*}
次は②，③を利用して，$r,~a,~b$ の関係式を求めよう。
②より
x+xr+xr^2=b
\end{align*}
&xr+xr^2+xr^3=br \\[4pt]
&a+ar+ar^2=br \\[4pt]
&ar^2+(a-b)r+a=0
\end{align*}
今求めた方程式を満たす $r$ が存在することから不等式を求める問題だね。
つまり，2次方程式が実数解をもつ条件を考えればいいから，判別式が0以上になればいいね。
たまに，この時点で，「0以上」なのに問題文に書かれている不等号では「0以下」になってるから間違ってると判断して計算しない人がいる。
これは相当勿体ない。移項すれば不等式の不等号の向きなんていくらでも変えることができるんだから，計算する前からアレコレ考えるのは辞めて欲しい。悩んでいる時間が本当に無駄なので，さっさと計算しよう。
判別式が0以上になるときを考えて
&(a-b)^2-4a^2\geqq0 \\[4pt]
&3a^2+2ab-b^2\leqq0
\end{align*}
(2)の最後に「逆に・・・」と書かれているけど，時間に余裕がない人は「本当に $r,~x$ を求めることができるのか？」なんて気にする必要はない。「求めることができる」と書かれているのだから，$r,~x$ を求めるときには，これを利用すれば良いんだなと思って，(3)に進もう。
(3)の解答
(3) $a=64,~b=336$ のとき，(2)の条件①，②を満たし，公比が1より大きい等比数列 $\{s_n\}$ を考える。③，④を用いて $\{s_n\}$ の公比 $r$ と初項 $x$ を求めると，$r=\myBox{コ}$，$x=\myBox{サシ}$ である。
$\{s_n\}$ を用いて，数列 $\{t_n\}$ を\begin{align*}と定める。このとき，$\{t_n\}$ の一般項は
t_n=s_n\log_{\mybox{コ}}s_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)
\end{align*}\begin{align*}である。$\{t_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $U_n$ は，$U_n-\mybox{コ}~U_n$ を計算することにより
t_n=\left(n+\myBox{ス}\right)\Cdota\mybox{コ}^{~n+\myBox{セ}}
\end{align*}\begin{align*}であることがわかる。
U_n=\dfrac{\myBox{ソ}~n+\myBox{タ}}{\myBox{チ}}\Cdot\mybox{コ}^{~n+\myBox{ツ}}-\dfrac{\myBox{テト}}{\myBox{ナ}}
\end{align*}
与えられている $a,~b$ の値を④に代入しよう。
$a=64,~b=336$ を④に代入すると
&64r^2+(64-336)r+64=0 \\[4pt]
&64r^2-272r+64=0 \\[4pt]
&4r^2-17r+4=0 \\[4pt]
&(r-4)(4r-1)=0 \\[4pt]
&r=4,~\dfrac{1}{4}
\end{align*}
&4x=64 \\[4pt]
&x=16
\end{align*}
$s_n$ を求めて，$t_n$ を求めよう。
数列 $\{s_n\}$ は初項16，公比4の等比数列だから
s_n&=16\Cdota4^{n-1} \\[4pt]
&=4^{n+1}
\end{align*}
t_n&=s_n\log_4s_n \\[4pt]
&=4^{n+1}\log_44^{n+1} \\[4pt]
&=(n+1)\Cdota4^{n+1}
\end{align*}
最後は，等差数列と等比数列の積の和を求める方法を思い出そう。分かっている人にとっては，問題文で丁寧に誘導されているなぁと感じるはず。
$\{t_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和が $U_n$ だから
U_n&=2\Cdota4^2+3\Cdota4^3+\cdots+(n+1)\Cdota4^{n+1}
\end{align*}
4U_n&=2\Cdota4^3+3\Cdota4^4+\cdots+n\Cdota4^{n+1}+(n+1)\Cdota4^{n+2}
\end{align*}
U_n-4U_n&=2\Cdota4^2+4^3+4^4+\cdots+4^{n+1}-(n+1)\Cdota4^{n+2} \\[4pt]
&=32+\dfrac{4^3(4^{n-1}-1)}{4-1}-(n+1)\Cdota4^{n+2}
\end{align*}
U_n&=-\dfrac{32}{3}-\dfrac{4^{n+2}-64}{9}+\dfrac{(n+1)\Cdot4^{n+2}}{3} \\[4pt]
&=\dfrac{3(n+1)\Cdot4^{n+2}-4^{n+2}}{9}+\dfrac{64}{9}-\dfrac{32}{3} \\[4pt]
&=\dfrac{3n+2}{9}\Cdota4^{n+2}-\dfrac{32}{9}
\end{align*}
最後までしっかり解ききるために，指数法則・対数法則についても，しっかりと理解しておこう。
2017年 センターⅡB 数列を解いた感想
考えた式の形と空欄の形が少し違う場合に，自分の考えが間違っていると思ってしまって，実際に計算することなく諦める人がいるが，これは辞めた方が良い。
後半は $(等差)\times(等比)$ の和を求められるようにしておこう。そのためには，等比数列の和の求め方を知っておくことが重要である。
