2016年 センター試験 数学ⅠA 第4問 整数

2016年センター試験数学ⅠA 第4問整数の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2016年センターⅠA 第4問整数(1) 不定方程式

\begin{align*}
92x+197y=1
\end{align*}

をみたす整数 $x,~y$ の組の中で，$x$ の絶対値が最小のものは

\begin{align*}
x=\myBox{アイ},~y=\myBox{ウエ}
\end{align*}

である。不定方程式

\begin{align*}
92x+197y=10
\end{align*}

をみたす整数 $x,~y$ の組の中で，$x$ の絶対値が最小のものは

\begin{align*}
x=\myBox{オカキ},~y=\myBox{クケ}
\end{align*}

である。
(2) 2進法で $11011_{(2)}$ と表される数を4進法で表すと $\myBox{コサシ}_{(4)}$ である。
　次の⓪～⑤の6進法の小数のうち，10進法で表すと有限小数として表せるのは，
$\myBox{ス}$, $\myBox{セ}$, $\myBox{ソ}$ である。ただし，解答の順序は問わない。
⓪ $0.3_{(6)}$　① $0.4_{(6)}$
② $0.33_{(6)}$　③ $0.43_{(6)}$
④ $0.333_{(6)}$　⑤ $0.043_{(6)}$

Contents

1 (1)の解答
2 (2)の解答
3 (1)の別解【合同式を利用】
4 2進法から4進法への変換
5 2016年センター数学ⅠA 整数を解いた感想

(1)の解答

ヒロ

まずはユークリッドの互除法を利用して，特殊解を求めよう。

【ア～エの解答】

\begin{align*}
&197=92\times2+13 \cdots\cdots① \\[4pt]
&92=13\times7+1 \cdots\cdots②
\end{align*}

①，②より

\begin{align*}
1&=92-13\times7 \\[4pt]
&=92-(197-92\times2)\times7 \\[4pt]
&=92\times15-197\times7
\end{align*}

よって，$92\Cdot15+197\Cdot(-7)=1$ となるから，1つの解は $x=15,~y=-7$ である。

ヒロ

この時点で $x$ の絶対値が最小のものが $x=15$ だと分かる人は，これを答えにしよう。$\myBox{アイ}=15$, $y=\myBox{ウエ}=-7$

ヒロ

ちゃんと一般解を求める場合は次のようにしよう。

【一般解を求める】

\begin{align*}
&92x+197y=1 \\[4pt]
&92\Cdota15+197\Cdota(-7)=1
\end{align*}

両辺の差をとると

\begin{align*}
92(x-15)+197(y+7)=0
\end{align*}

となる。92と197は互いに素であるから，$x-15$ は197の倍数で，$y+7$ は92の倍数である。
よって，整数 $k$ を用いて

\begin{align*}
&x-15=197k,~y+7=-92k \\[4pt]
&x=197k+15,~y=-92k-7
\end{align*}

と表せる。

ヒロ

一般解を求めれば，$x$ の絶対値が最小になるのは，$k=0$ のときだと，はっきり分かるね。

ヒロ

次はさっきの不定方程式と左辺が同じで右辺が10になっている。

【オ～ケの解答】
$92\Cdot15+197\Cdot(-7)=1$ の両辺に10をかけると

\begin{align*}
92\Cdota150+197\Cdota(-70)=10
\end{align*}

となる。これより，整数 $k$ を用いると

\begin{align*}
x=197k+150,~y=-92k-70
\end{align*}

と表せる。$x$ の絶対値が最小のものは $k=-1$ のときだから

\begin{align*}
x=-47,~y=22
\end{align*}

(2)の解答

(2) 2進法で $11011_{(2)}$ と表される数を4進法で表すと $\myBox{コサシ}_{(4)}$ である。
　次の⓪～⑤の6進法の小数のうち，10進法で表すと有限小数として表せるのは，
$\myBox{ス}$, $\myBox{セ}$, $\myBox{ソ}$ である。ただし，解答の順序は問わない。
⓪ $0.3_{(6)}$　① $0.4_{(6)}$
② $0.33_{(6)}$　③ $0.43_{(6)}$
④ $0.333_{(6)}$　⑤ $0.043_{(6)}$

ヒロ

10進法を経由して4進法で表すと次のようになる。

【コ～シの解答】
2進法で $11011_{(2)}$ と表される数を10進法で表すと

\begin{align*}
11011_{(2)}&=2^4+2^3+2+1
\end{align*}

となる。これを4進法で表すことを考えて変形すると

\begin{align*}
11011_{(2)}&=2^4+2^3+2+1 \\[4pt]
&=16+8+2+1 \\[4pt]
&=4^2+2\Cdota4+3 \\[4pt]
&=123_{(4)}
\end{align*}

ヒロ

$11011_{(2)}=27$ であるが，ここまで計算すると遅くなるため，微妙である。

ヒロ

次は10進法で表すと有限小数になるものを選ぶ問題。

10進法で表すと有限小数になるのは，分母が2または5の積で表せるときである。

ヒロ

順番に確認していこう。

【ス～ソの解答】

\begin{align*}
0.3_{(6)}&=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2} \\[4pt]
0.4_{(6)}&=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3} \\[4pt]
0.33_{(6)}&=\dfrac{3}{6}+\dfrac{3}{6^2} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{7}{12} \\[4pt]
0.43_{(6)}&=\dfrac{4}{6}+\dfrac{3}{6^2} \\[4pt]
&=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4} \\[4pt]
0.033_{(6)}&=\dfrac{3}{6^2}+\dfrac{3}{6^3} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{72}=\dfrac{7}{72} \\[4pt]
0.043_{(6)}&=\dfrac{4}{6^2}+\dfrac{3}{6^3} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{72} \\[4pt]
&=\dfrac{9}{72}=\dfrac{1}{8}
\end{align*}

分母の素因数が2または5であるものが答えであるから，⓪，③，⑤

(1)の別解【合同式を利用】

ヒロ

合同式を用いて特殊解を求めることができるようにしておこう。

【ア～エの別解】
$92x+197y=1$ より

\begin{align*}
&92x+197y\equiv1\pmod{92} \\[4pt]
&197y\equiv1\pmod{92}
\end{align*}

また，$197\equiv13\pmod{92}$ より，$197y\equiv13y\pmod{92}$ であるから

\begin{align*}
13y\equiv1\pmod{92}
\end{align*}

$13\times7=91\equiv-1\pmod{92}$ より，$y=-7$ が特殊解であることが分かる。したがって，整数 $k$ を用いて

\begin{align*}
y=92k-7
\end{align*}

と表せる。このとき

\begin{align*}
&92x+197(92k-7)=1 \\[4pt]
&x=92k+15
\end{align*}

となる。$x$ の絶対値が最小になるのは $k=0$ のときであるから

\begin{align*}
x=15,~y=-7
\end{align*}

2進法から4進法への変換

ヒロ

2進法から4進法へ変換する際，次のポイントを知っておくと素早く変換をすることができる。

2進法で表された数を右から2桁ずつ区切って，

\begin{align*}
00\to0,~01\to1,~10\to2,~11\to3
\end{align*}

とすると4進法で表された数になる。

ヒロ

今回の場合は次のようになる。

【コ～シの別解】

\begin{align*}
11011_{(2)}&=1\,|\,10\,|\,11 \\[4pt]
&=123_{(4)}
\end{align*}

ヒロ

このようにして変換できる理由を理解しておこう。

【2進法から4進法への簡易変換方法の原理】
このようにして変換できる理由を一言で言うと $4=2^2$ だから。2進法で $00,~01,~10,~11$ はそれぞれ4進法で $0,~1,~2,~3$ である。また，2進法で2桁ずれると10進法では4倍されていることになり，4進法では1繰り上がることを意味する。
【例】
2進法で101から10100になることは，10進法では5から20になったことと同じであり，4進法では11から110になることと同じである。