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【数学ⅡB】様々な三角関数のグラフ【定期テスト対策】

三角関数の周期とグラフ数学IAIIB
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三角関数の周期を理解しよう

ヒロ
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周期を求めるときは「基本周期を $x$ の係数で割れば良い」ことが分かるだろう。

ヒロ
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結論を覚えることで問題を解くことはできるが,理由を理解しておくことも重要だろう。

 $f(x)=a\sin(bx+c)+d$ とおいて,$f(x+p)=f(x)$ となる $p$ を考える。
\begin{align*}
f(x+p)&=a\sin(b(x+p)+c)+d \\[4pt]
&=a\sin(bx+c+bp)+d
\end{align*}
となり,$\sin(x+2\pi)=\sin x$ であることを考えると,$bp=2\pi$ が成り立つとき
\begin{align*}
f(x+p)=f(x)
\end{align*}
が成り立つ。このとき,$p=\dfrac{2\pi}{b}$ であるから,$f(x)$ の周期は $\dfrac{2\pi}{b}$ である。
ヒロ
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次のように考えることもできる。

 $f(x)=a\sin(bx+c)+d$ とすると
\begin{align*}
f(x)=a\sin\left\{b\left(x+\dfrac{c}{b}\right)\right\}+d
\end{align*}
となるから,
\begin{align*}
g(x)=a\sin bx
\end{align*}
とおくと,$y=f(x)$ のグラフは $y=g(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $-\dfrac{c}{b}$,$y$ 軸方向に $d$ だけ平行移動したものであることが分かる。したがって,$f(x)$ の周期は $g(x)$ の周期と等しい。
 また,$h(x)=\sin bx$ とすると,$y=g(x)$ のグラフは $y=h(x)$ のグラフを $y$ 軸方向に $a$ 倍に拡大したものであるから,周期には影響しない。つまり,$g(x)$ の周期は $h(x)$ に等しい。
 ここで $x$ が1増加するとき,$bx$ は $b$ 増加する。つまり $b$ 倍のスピードで角 $bx$ が増加することになる。したがって,$x$ が $\dfrac{2\pi}{b}$ 増加するとき,$bx$ は $2\pi$ 増加し,1周することになる。
 よって,$\sin bx$ の周期は $\dfrac{2\pi}{b}$ である。
ヒロ
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余弦・正接も同じように考えることで,最初に書いた周期になることが分かるだろう。

三角関数の周期に関する問題

ヒロ
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実際に定期テストに出題された問題を解いてみよう。

問題(定期テスト)下図は $y=\dfrac{1}{3}\sin\left(\dfrac{\theta}{2}-\dfrac{\pi}{3}\right)$ のグラフである。$A,~B,~C$ の値,周期を求めよ。
定期テスト 三角関数のグラフから周期などを求める
【考え方と解答】
 まず,$C$ を求める。この問題の $\sin$ の中身の角は $\dfrac{\theta}{2}-\dfrac{\pi}{3}$ であるが,どのような形であっても $\theta$ が変化するに伴って「グルグル回るだけ」である。つまり
\begin{align*}
-1\leqq\sin\left(\dfrac{\theta}{2}-\dfrac{\pi}{3}\right)\leqq1
\end{align*}
が成り立つ。辺々に $\dfrac{1}{3}$ をかけて
\begin{align*}
-\dfrac{1}{3}\leqq y\leqq\dfrac{1}{3}
\end{align*}
となるから,$C=\dfrac{1}{3}$ である。
 次に $B$ を求める。$B$ は $\theta=0$ を代入したときの $y$ の値であるから
\begin{align*}
B&=\dfrac{1}{3}\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) \\[4pt]&=\dfrac{1}{3}\Cdota\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\[4pt]&=-\dfrac{\sqrt{3}}{6}
\end{align*}
最後に $A$ を求める。角を $\theta$ の係数でくくることで平行移動量が分かるように変形しよう。
\begin{align*}
y=\dfrac{1}{3}\sin\left\{\dfrac{1}{2}\left(\theta-\dfrac{2}{3}\pi\right)\right\}
\end{align*}
この変形によって,与えられた関数のグラフは $y=\dfrac{1}{3}\sin\dfrac{\theta}{2}$ のグラフを $\theta$ 軸方向に $\dfrac{2}{3}\pi$ だけ平行移動したものであることが分かる。したがって,$A=\dfrac{2}{3}\pi$ である。

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