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三角関数の周期に関する問題2
ヒロ
次も実際に出題された定期テストの問題だ。
問題（定期テスト）下の図は，関数 $y=2\sin(a\theta-b)$ のグラフである。$a>0$，$0<b<2\pi$ のとき，$a,~b$ および図中の目盛り $A,~B$ の値を求めよ。
【考え方と解答】
まず，$A$ を求める。$\theta$ の変化に伴って $a\theta-b$ が「グルグル回るだけ」だから
次に $B$ を求める。グラフより，周期は
まず，$A$ を求める。$\theta$ の変化に伴って $a\theta-b$ が「グルグル回るだけ」だから
\begin{align*} -1\leqq\sin(a\theta-b)\leqq1 \end{align*}
である。辺々に2をかけて \begin{align*} -2\leqq y\leqq2 \end{align*}
となるから，$A=2$ である。次に $B$ を求める。グラフより，周期は
\begin{align*} 2\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{2}{3}\pi \end{align*}
であるから \begin{align*} B=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2}{3}\pi=\dfrac{5}{6}\pi \end{align*}
周期が分かったから，$a$ も分かる。$y=2\sin(a\theta-b)$ の周期は $\dfrac{2\pi}{a}$ であるから \begin{align*} &\dfrac{2\pi}{a}=\dfrac{2}{3}\pi \\[4pt] &a=3 \end{align*}
$y=2\sin a\theta$ からの平行移動量を考えて，$b$ を求める。 \begin{align*} y&=2\sin(3\theta-b) \\[4pt] &=2\sin\left\{3\left(\theta-\dfrac{b}{3}\right)\right\} \end{align*}
となるから，与えられた関数のグラフは $y=2\sin3\theta$ のグラフを $\dfrac{b}{3}$ だけ $\theta$ 軸方向に平行移動したものであることが分かる。したがって \begin{align*} &\dfrac{b}{3}=\dfrac{\pi}{6} \\[4pt] &b=\dfrac{\pi}{2} \end{align*}
三角関数の周期に関する問題3
問題（定期テスト）関数 $y=3\cos\left(\dfrac{\theta}{2}-\dfrac{\pi}{6}\right)+1$ のグラフは，$y=\cos\theta$ のグラフを $y$ 軸方向に $\myBox{ア}$ 倍し，$\theta$ 軸方向に $\myBox{イ}$ 倍したものを，$\theta$ 軸方向に $\myBox{ウ}$，$y$ 軸方向に $\myBox{エ}$ 移動したものである。周期は $\myBox{オ}$ である。
【考え方と解答】
式だけを見て，基本となる関数や平行移動量を求められるようにしよう。与えられた関数の $\cos$ の係数が3だから，そのグラフは $y=\cos\theta$ のグラフを $y$ 軸方向に3倍したものであることが分かる。また，$\theta$ の係数が $\dfrac{1}{2}$ であるから，$\theta$ 軸方向に2倍したものであることが分かる。
周期は $\theta$ の係数に着目して，$\dfrac{2\pi}{\dfrac{1}{2}}=4\pi$ である。
式だけを見て，基本となる関数や平行移動量を求められるようにしよう。与えられた関数の $\cos$ の係数が3だから，そのグラフは $y=\cos\theta$ のグラフを $y$ 軸方向に3倍したものであることが分かる。また，$\theta$ の係数が $\dfrac{1}{2}$ であるから，$\theta$ 軸方向に2倍したものであることが分かる。
\begin{align*}
y=3\cos\left\{\dfrac{1}{2}\left(\theta-\dfrac{2}{3}\pi\right)\right\}+1
\end{align*}
と変形することで，$\theta$ 軸方向に $\dfrac{2}{3}\pi$，$y$ 軸方向に1平行移動したものであることが分かる。y=3\cos\left\{\dfrac{1}{2}\left(\theta-\dfrac{2}{3}\pi\right)\right\}+1
\end{align*}
周期は $\theta$ の係数に着目して，$\dfrac{2\pi}{\dfrac{1}{2}}=4\pi$ である。
2015年 湘南工科大
2015年 湘南工科大・改関数 $y=3\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)$ の周期は $a$ であり，グラフは $y=3\cos2x$ のグラフを $x$ 軸の正方向に $b$ だけ平行移動して求められる。$a,~b$ の値を求めよ。
【考え方と解答】
周期は $\dfrac{2\pi}{2}=\pi$ であるから，$a=\pi$ となる。また
周期は $\dfrac{2\pi}{2}=\pi$ であるから，$a=\pi$ となる。また
\begin{align*}
y&=3\cos\left\{2\left(x+\dfrac{x}{6}\right)\right\}
\end{align*}
と変形することで，このグラフは $y=3\cos2x$ のグラフを $x$ 軸の正方向に $-\dfrac{\pi}{6}$ だけ平行移動したものであることが分かる。よって，$b=-\dfrac{\pi}{6}$y&=3\cos\left\{2\left(x+\dfrac{x}{6}\right)\right\}
\end{align*}