【数学IA】集合の要素の個数の取り得る値の範囲

【考え方と解答】
海外旅行者100人を全体集合 $U$ とする。風邪薬を携帯している人の集合を $A$，胃薬を携帯している人の集合を $B$ とする。
(1) 風邪薬と胃薬を両方とも携帯した人を表す集合は $A\cap B$ である。つまり，線分を用いた図では重なり部分である。
最小値を考えると，重なり部分をできるだけ少なくなるように，線分を反対側から伸ばしていくため，次の図のようになる。

よって，$n(A\cap B)$ の最小値は
次に最大値を考える。
重なり部分をできるだけ多くなるように，両方の線分を左側から伸ばしていくため，次の図のようになる。

よって，$n(A\cap B)$ の最大値は
したがって，風邪薬と胃薬を両方とも携帯した人は55人以上75人以下である。
(2) 風邪薬と胃薬を両方とも携帯していない人を表す集合は $\overline{A}\cap\overline{B}$ である。
ド・モルガンの法則を利用すると，$n(\overline{A\cup B})$ となる。
つまり線分を用いた図では，線分がない部分である。
最小となるのは，$n(A\cup B)$ が最大になるときである。
これは $n(A\cap B)$ が最小になるときで，重なり部分をできるだけ少なくなるように，両方の線分を左側から伸ばしていくため，次の図のようになる。

よって，$n(A\cup B)$ の最大値が100であるから，$\overline{A}\cap\overline{B}$ の最小値は0である。
次に $\overline{A}\cap\overline{B}$ の最大値を考える。
逆に重なり部分をできるだけ多くなるように，両方の線分を左側から伸ばしていくため，次の図のようになる。

よって，$n(A\cup B)$ の最小値は80であるから，$\overline{A}\cap\overline{B}$ の最大値は20である。
したがって，風邪薬と胃薬を両方とも携帯していない人は0人以上20人以下である。