【数学ⅡB】2直線の共有点と連立方程式【日本福祉大】

【2直線の共有点と連立方程式の関係】
　2直線 $l,~m$ の方程式を
とし，$l$ と $m$ は平行でなく，一致しない状態にあるとする。このとき，$l,~m$ は1点で交わり，その点をP$(X,~Y)$ とする。このとき，点Pは $l$ 上にあるから
が成り立つ。また，点Pは $m$ 上にもあるから
も成り立つ。$x=X,~y=Y$ は①と②の両方をみたすから，$x=X,~y=Y$ は①と②の連立方程式の解である。

【(1)の考え方と解答】
$l:(a+2)x+y=a~\cdots\cdots①$，$m:3x+(a+4)y=-a~\cdots\cdots②$ とする。
　2直線が共有点をもたないのは，2直線が平行で一致しないときである。2直線の平行条件を考えて
$a$ の値が2つ出てきたということは，おそらく，片方が「2直線が平行で一致しないとき」で，もう一方が「2直線が一致するとき」になっているのだろう。
$a=-1$ のとき，$l$ は $x+y=-1$ となる。$m$ は
となる。このとき，2直線 $l,~m$ は共有点をもたない。
$a=-5$ のとき，$l$ は
となる。$m$ も
となるから，2直線 $l,~m$ は一致する。
以上より，2直線が共有点をもたないときの $a$ の値は $a=-1$ であり，一致するときの $a$ の値は $a=-5$ である。

【(2)の考え方と解答】
　2直線が1点で交わるときは，2直線が平行でないときである。(1)の結果から，$a\neq-1,~-5$ として，連立方程式を解けば良いことが分かる。
　①と②から $x$ か $y$ を消去することを考える。例えば①から $x$ を消去するために「$x=\cdots$」と変形すると
となるが，$a=-2$ のときは係数の分母が0になるため，係数が定義されない。したがって，「$a\neq-2$ のとき」という断りなしで，この式を書くことを避けた方が良い。
　しかし，そもそも分母に文字が現れるように変形するから，変なことになるわけで，可能であれば分母に文字がこないように変形した方が良い。
　今回の場合，$x$ を消去するなら，②を変形して
として①に代入すれば良い。また，$y$ を消去するなら，①を変形して
として②に代入すれば良い。あとはどちらが計算が楽そうかということを考える。
　基本的に係数が分数でない方が，計算が楽になるだろうから，この問題では $y$ を消去した方が良いだろう。ということで $①’$ を②に代入すると
$a\neq-5$ であるから
$a\neq-1$ であるから，$x=\dfrac{a}{a+1}$
②より
よって，求める交点の座標は $\left(\dfrac{a}{a+1},~-\dfrac{a}{a+1}\right)$ である。