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微分接触型の積分問題では置換しないで積分しよう

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微分接触型の積分問題では置換しないで微分しよう数学III

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積分問題3

ヒロ
ヒロ

次は少し難しく感じる微分接触型の積分問題。

問題3(1) $\dint{}{}\sin^3x\cos^2xdx$
(2) $\dint{}{}\sin^3xdx$
(3) $\dint{}{}\dfrac{1}{\cos^2x\tan x}dx$
(4) $\dint{}{}\dfrac{1}{\sin^2x\tan x}dx$

(1)の考え方と解答

ヒロ
ヒロ

$\sin x$ と $\cos x$ の次数に着目しよう。

ヒロ
ヒロ

次数が偶数の方を主と見て,次数が奇数の方が1つだけ残るように変形しよう。

$\sin^{2n}x$ を $\cos x$ で,$\cos^{2n}x$ を $\sin x$ で表すことができることを覚えておこう。
ヒロ
ヒロ

今回の場合は $\cos^2x$ を主と見て,$\sin^3x$ は $\sin x$ を1つ残して,$\sin^2x$ を $\cos x$ で表そう。

【(1)の考え方と解答】
\begin{align*}
&\dint{}{}\sin^3x\cos^2xdx \\[4pt]
&=\dint{}{}\sin x(1-\cos^2x)\cos^2xdx \\[4pt]
&=\dint{}{}\sin x(\cos^2x-\cos^4x)dx
\end{align*}
ここで
\begin{align*}
f(x)=x^2-x^4,~g(x)=\cos x
\end{align*}
とおくと
\begin{align*}
\cos^2x-\cos^4x=f(g(x)),~g'(x)=-\sin x
\end{align*}
となるから,求める不定積分は次のようになる。
\begin{align*}
&\dint{}{}\sin^3x\cos^2xdx \\[4pt]
&=\dint{}{}\sin x(\cos^2x-\cos^4x)dx \\[4pt]
&=-\dfrac{1}{3}\cos^3x+\dfrac{1}{5}\cos^5x+C
\end{align*}

(2)の考え方と解答

ヒロ
ヒロ

$\sin^3x=\sin^2x\times\sin x$ と見て,$\sin^2x$ を $\cos x$ で表そう。

【(2)の考え方と解答】
\begin{align*}
&\dint{}{}\sin^3xdx \\[4pt]
&=\dint{}{}(1-\cos^2x)\sin xdx \\[4pt]
&=-\cos x+\dfrac{1}{3}\cos^3x+C
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

$\cos x$ を微分すると $(\cos x)’=-\sin x$ となってマイナスの符号が付くことに注意しよう。

(3)の考え方と解答

ヒロ
ヒロ

$(\tan x)’=\dfrac{1}{\cos^2x}$ を覚えていない人は覚えておこう。

【(3)の考え方と解答】
$f(x)=\dfrac{1}{x},~g(x)=\tan x$ とすると
\begin{align*}
&\dfrac{1}{\tan x}=f(g(x)) \\[4pt]
&g'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}
\end{align*}
となることを利用して積分しよう。
\begin{align*}
\dint{}{}\dfrac{1}{\cos^2x\tan x}dx=\log\abs{\tan x}+C
\end{align*}

(4)の考え方と解答

ヒロ
ヒロ

$\left(\dfrac{1}{\tan x}\right)’=-\dfrac{1}{\sin^2x}$ を覚えていない人は覚えておこう。

【(4)の考え方と解答】
$f(x)=x,~g(x)=\dfrac{1}{\tan x}$ とすると
\begin{align*}
&\dfrac{1}{\tan x}=f(g(x)) \\[4pt]&g'(x)=-\dfrac{1}{\sin^2x}
\end{align*}
となることを利用して積分しよう。
\begin{align*}
\dint{}{}\dfrac{1}{\sin^2x\tan x}dx=-\dfrac{1}{2\tan^2x}+C
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

次のように変形して積分しても良い。

【(4)の別解】
被積分関数は
\begin{align*}
\dfrac{1}{\sin^2x\tan x}=\dfrac{\cos x}{\sin^3x}
\end{align*}
となる。ここで $f(x)=\dfrac{1}{x^3}$, $g(x)=\sin x$ とおくと
\begin{align*}
&\dfrac{1}{\sin^3x}=f(g(x)) \\[4pt]&g'(x)=\cos x
\end{align*}
となるから,$\dfrac{1}{x^3}$ の不定積分の1つが $-\dfrac{1}{2x^2}$ であることを考えて,求める不定積分は次のようになる。
\begin{align*}
&\dfrac{1}{\sin^2x\tan x} \\[4pt]&=\dint{}{}\dfrac{\cos x}{\sin^3x}dx \\[4pt]&=-\dfrac{1}{2\sin^2x}+C
\end{align*}
ヒロ
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最初の解答と違って間違っているように見えるけど,変形すれば合っていることが確認できる。

三角関数の忘れられた相互関係$\sin^2x+\cos^2x=1$ の両辺を $\sin^2x$ で割ると次の等式が得られる。
\begin{align*}
1+\dfrac{1}{\tan^2x}=\dfrac{1}{\sin^2x}
\end{align*}
三角関数の相互関係は3つと習っているけど,この等式を4番目の相互関係として覚えて欲しい。
【確認】
\begin{align*}
-\dfrac{1}{2\sin^2x}&=-\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{\tan^2x}\right) \\[4pt]&=-\dfrac{1}{2\tan^2x}-\dfrac{1}{2}
\end{align*}
$-\dfrac{1}{2}$ は定数だから積分定数の $C$ に含めることで,
最初の解答の $-\dfrac{1}{2\tan^2x}$ に一致することが分かる。

微分接触型の積分は置換しないで積分しよう

ヒロ
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置換しないで積分したい積分問題の1つに,この記事で扱った微分接触型の積分問題も含まれる。

ヒロ
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一見,微分接触型に見えない積分もあるが,練習次第で見えてくるようになるので,頑張って練習して欲しい。

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