等比数列の一般項と和について説明します。
まず，等比数列とはどのような数列かを理解することが重要です。
大学入試において，等比数列の一般項だけを求める問題は少なく，一般項を求めてからが本番という問題が多いのですが，一般項を正しく求めることができないと大失点につながるため，一般項を正確に求めることができるようにすることが大切です。
また，等比数列の和の公式については，その求め方を理解することが重要です。さらに難しい数列の和を求めるときに役に立ちます。
等比数列の一般項と和を正確に求められるようにしましょう。
Contents
等比数列の一般項と和
ヒロ
等比数列の定義は次の通りである。
等比数列隣り合う2項の比が一定の数列を等比数列という。また，隣り合う2項の比を公比という。
ヒロ
次に等比数列の一般項は次のように求めることができる。
初項 $a$，公比 $r$ の等比数列の第 $n$ 項を $a_n$ とする。初項に公比を1回かけると第2項になり，初項に公比を2回かけると第3項になることを考えると，初項に公比を $n-1$ 回かけると第 $n$ 項になることが分かるから，一般項は
(i) $r=1$ のとき
①より
②より
\begin{align*}
a_n=a\Cdota r^{n-1}
\end{align*}
となる。初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとa_n=a\Cdota r^{n-1}
\end{align*}
\begin{align*}
S_n=a+ar+\cdots+ar^{n-1}~\cdots\cdots①
\end{align*}
①の両辺に $r$ をかけるとS_n=a+ar+\cdots+ar^{n-1}~\cdots\cdots①
\end{align*}
\begin{align*}
rS_n=ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+ar^n~\cdots\cdots②
\end{align*}
$①-②$ よりrS_n=ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+ar^n~\cdots\cdots②
\end{align*}
\begin{align*}
(1-r)S_n=a(1-r^n)~\cdots\cdots②
\end{align*}
$1-r$ が0かどうかで場合分けしよう。(1-r)S_n=a(1-r^n)~\cdots\cdots②
\end{align*}
(i) $r=1$ のとき
①より
\begin{align*}
S_n&=\overbrace{a+a+\cdots+a}^{n個}=an
\end{align*}
(ii) $r\neq1$ のときS_n&=\overbrace{a+a+\cdots+a}^{n個}=an
\end{align*}
②より
\begin{align*}
S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}
\end{align*}
S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}
\end{align*}
2021年 松山大
2021年 松山大初項から第3項までの和が28，初項から第6項までの和が $-728$ であるとき，この等比数列の初項は $\myhako$ であり，公比は $\myhako$ である。ただし，公比は実数とする。
【解答と考え方】
この等比数列の初項を $a$，公比を $r$ とする。初項から第3項までの和が28であるから
このとき①より
この等比数列の初項を $a$，公比を $r$ とする。初項から第3項までの和が28であるから
\begin{align*}
&a+ar+ar^2=28~\cdots\cdots①
\end{align*}
初項から第6項までの和が $-728$ であるから&a+ar+ar^2=28~\cdots\cdots①
\end{align*}
\begin{align*}
&a+ar+ar^2+ar^3+ar^4+ar^5=-728 \\[4pt]
&(a+ar+ar^2)+r^3(a+ar+ar^2)=-728
\end{align*}
①より&a+ar+ar^2+ar^3+ar^4+ar^5=-728 \\[4pt]
&(a+ar+ar^2)+r^3(a+ar+ar^2)=-728
\end{align*}
\begin{align*}
&28+28r^3=-728 \\[4pt]
&28r^3=-756 \\[4pt]
&r^3=-27
\end{align*}
$r$ は実数だから，$r=-3$&28+28r^3=-728 \\[4pt]
&28r^3=-756 \\[4pt]
&r^3=-27
\end{align*}
このとき①より
\begin{align*}
&a-3a+9a=28 \\[4pt]
&7a=28 \\[4pt]
&a=4
\end{align*}
よって，初項は4，公比は $-3$ である。&a-3a+9a=28 \\[4pt]
&7a=28 \\[4pt]
&a=4
\end{align*}
ヒロ
今回の問題では，初項から第6項までの和を初項から第3項までの和と第4項から第6項までの和に分けることで，公比 $r^3$ の等比数列と見ることもできる。