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【数学ⅡB】定点を通る円の方程式【上智大・近畿大・成蹊大】

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定点を通る円の方程式数学IAIIB

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定点を通る円に関する問題【上智大】

2015年 上智大
$a$ を実数とするとき,座標平面において,円 $C_a:x^2+y^2+a(x+3y-10)=20$ を考える。どのような $a$ の値に対しても,$C_a$ は2点P$\left(\myBox{ア},~\myBox{イ}\right)$,Q$\left(\myBox{ウ},~\myBox{エ}\right)$ を必ず通る。ただし,$\myBox{ア}<\myBox{ウ}$ とする。
【考え方と解答】
$x^2+y^2+a(x+3y-10)=20$ を $a$ について整理すると
\begin{align*}x^2+y^2-20+a(x+3y-10)=0 \end{align*}
これが $a$ の値に関係なく成り立つのは
\begin{align*} \begin{cases}
x^2+y^2-20=0 &\cdots\cdots① \\[4pt]x+3y-10=0 &\cdots\cdots② \end{cases} \end{align*}
となるときである。
②より,$x=-3y+10~\cdots\cdots②’$
$②’$ を①に代入すると
\begin{align*}
&(-3y+10)^2+y^2-20=0 \\[4pt]&10y^2-60y+80=0 \\[4pt]&y^2-6y+8=0 \\[4pt]&(y-2)(y-4)=0 \\[4pt]&y=2,~4 \end{align*}
$①’$ より,$y=2$ のとき,$x=4$ であり,$y=4$ のとき,$x=-2$ である。
 したがって,どのような $a$ の値に対しても $C_a$ は2点P$(-2,~4)$,Q$(4,~2)$ を必ず通る。

定点を通る円に関する問題【近畿大】

2015年 近畿大$a$ は0でない定数とする。$a$ の値に関係なく,円 $C:x^2+y^2-4ax+2y+1=0$ が通る定点の座標は $\myhako$ である。
【考え方と解答】
$x^2+y^2-4ax+2y+1=0$ より
\begin{align*}
-4xa+(x^2+y^2+2y+1)=0
\end{align*}
これが $a$ の値に関係なく成り立つのは
\begin{align*}
\begin{cases}
-4x=0 &\cdots\cdots① \\[4pt]
x^2+y^2+2y+1=0 &\cdots\cdots②
\end{cases}
\end{align*}
となるときである。
①より,$x=0$
②に代入すると
\begin{align*}
&y^2+2y+1=0 \\[4pt]
&(y+1)^2=0 \\[4pt]
&y=-1
\end{align*}
よって,$a$ の値に関係なく,円 $C$ は定点 $(0,~-1)$ を通る。
ヒロ
ヒロ

この問題で,円と直線の共有点を通る円として考えると,少し面倒なことになる。

 円 $C$ の方程式を変形すると
\begin{align*}
-4xa+(x^2+y^2+2y+1)=0~\cdots\cdots①
\end{align*}
となるが,これは直線 $-4x=0$ すなわち,直線 $x=0~\cdots\cdots①$ と $x^2+y^2+2y+1=0~\cdots\cdots②$ が表す図形(円と言わない理由はすぐに分かる)の共有点を通る円である。
直線①は $y$ 軸である。②の方程式を円の方程式とみて,基本形に変形すると
\begin{align*}
x^2+(y+1)^2=0
\end{align*}
となる。$x,~y$ は実数であるから
\begin{align*}
x=0~かつ~y+1=0
\end{align*}
となり,②は円ではなく,点 $(0,~-1)$ を表すことに気付く。
 この時点で,問題文にある「$a$ は0でない定数とする」の意味も理解するだろう。$a=0$ のときは①は1点のみを表し,円と言えなくなる。
 解釈を続ければ,円①は $y$ 軸と点 $(0,~-1)$ の交点を通る円ということになる。$y$ 軸と点 $(0,~-1)$ の交点は点 $(0,~-1)$ であるから,円①は $a$ の値に関係なく,点 $(0,~-1)$ を通ることになる。

定点を通る円に関する問題【成蹊大】

2012年 成蹊大$k$ を定数とし,方程式
\begin{align*}
x^2+y^2+3kx-ky-10k-20=0
\end{align*}
で表される座標平面の円 $C$ について,次の各問に答えよ。
(1) 円 $C$ の中心の座標を $k$ を用いて表せ。
(2) 円 $C$ は $k$ の値によらず,ある2つの定点を通る。この2点の座標を求めよ。
【(1)の考え方と解答】
与えられた円の方程式を基本形に変形しよう。
$x^2+y^2+3kx-ky-10k-20=0$ より
\begin{align*}
&\left(x+\dfrac{3}{2}k\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{2}k\right)^2=\dfrac{9}{4}k^2+\dfrac{1}{4}k^2+10k+20 \\[4pt]&\left(x+\dfrac{3}{2}k\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{2}k\right)^2=\dfrac{5}{2}k^2+10k+20
\end{align*}
ここで,
\begin{align*}
\dfrac{5}{2}k^2+10k+20&=\dfrac{5}{2}(k+2)^2+10>0
\end{align*}
となるから,$k$ の値に関係なく円である。
よって,円 $C$ の中心の座標は $\left(-\dfrac{3}{2}k,~\dfrac{1}{2}k\right)$

(2) 円 $C$ は $k$ の値によらず,ある2つの定点を通る。この2点の座標を求めよ。

【(2)の考え方と解答】
$k$ についての恒等式と見て,定点を求めよう。
$x^2+y^2+3kx-ky-10k-20=0$ より
\begin{align*}
x^2+y^2-20+k(3x-y-10)=0
\end{align*}
これが $k$ の値に関係なく成り立つのは
\begin{align*}
\begin{cases}
x^2+y^2-20=0 &\cdots\cdots① \\[4pt]3x-y-10=0 &\cdots\cdots②
\end{cases}
\end{align*}
となるときである。
②より,$y=3x-10~\cdots\cdots②’$
$②’$を①に代入して
\begin{align*}
&x^2+(3x-10)^2-20=0 \\[4pt]&10x^2-60x+80=0 \\[4pt]&x^2-6x+8=0 \\[4pt]&(x-2)(x-4)=0 \\[4pt]&x=2,~4
\end{align*}
$②’$ より,$x=2$ のとき,$y=-4$ であり,$x=4$ のとき,$y=2$ である。
よって,求める2つの定点の座標は $(2,~-4),~(4,~2)$
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