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極大値から3次関数の2つの係数を決定
ヒロ
極値から3次関数の係数を決定する問題を解いていこう。
2021年 京都産業大$a,~b$ を実数とし，関数 $f(x)=x^3+ax^2+bx$ が $x=-1$ で極大値3をとるとする。
$a=\myhako$，$b=\myhako$ であり，$f(x)$ の極小値は $\myhako$ である。
$a=\myhako$，$b=\myhako$ であり，$f(x)$ の極小値は $\myhako$ である。
【解答と考え方】
求める係数は $a,~b$ の2つであるから，独立した方程式が2本あれば，連立して解くことで $a,~b$ の値を求めることができる。$x=-1$ で極大値3をとることが与えられているので，この条件から2本の等式を作ろう。
$f(x)=x^3+ax^2+bx$ のとき，$f'(x)=3x^2+2ax+b$
$x=-1$ で極大値3をとるから，$f(-1)=3$，$f'(-1)=0$ が成り立つ。したがって
$f(x)=x^3-x^2-5x$ のとき，$f'(x)=3x^2-2x-5$
ここで1つ注意すべき点がある。$f'(x)=0$ を解く際には「$x=-1$ で極値をとること」を意識すると良い。つまり，$f'(-1)=0$ が成り立つことから，$f'(x)$ が $x+1$ を因数にもつことは始めから分かっている。実際に $f'(x)=0$ を解くと次のようになる。
また，極小値を求めると，
求める係数は $a,~b$ の2つであるから，独立した方程式が2本あれば，連立して解くことで $a,~b$ の値を求めることができる。$x=-1$ で極大値3をとることが与えられているので，この条件から2本の等式を作ろう。
$f(x)=x^3+ax^2+bx$ のとき，$f'(x)=3x^2+2ax+b$
$x=-1$ で極大値3をとるから，$f(-1)=3$，$f'(-1)=0$ が成り立つ。したがって
\begin{align*}
\begin{cases}
-1+a-b=3 &~\cdots\cdots① \\[4pt]
3-2a+b=0 &~\cdots\cdots②
\end{cases}
\end{align*}
$①+②$ より\begin{cases}
-1+a-b=3 &~\cdots\cdots① \\[4pt]
3-2a+b=0 &~\cdots\cdots②
\end{cases}
\end{align*}
\begin{align*}
2-a=3~~\therefore a=-1
\end{align*}
①より2-a=3~~\therefore a=-1
\end{align*}
\begin{align*}
-1-1-b=3~~\therefore b=-5
\end{align*}
これで3次関数の係数が決定した。今回は穴埋めの問題だから，そのままこの値を答えにすれば良い。しかし記述式の場合は，次のようにして $x=-1$ で極大値をとることを確認しよう。-1-1-b=3~~\therefore b=-5
\end{align*}
$f(x)=x^3-x^2-5x$ のとき，$f'(x)=3x^2-2x-5$
ここで1つ注意すべき点がある。$f'(x)=0$ を解く際には「$x=-1$ で極値をとること」を意識すると良い。つまり，$f'(-1)=0$ が成り立つことから，$f'(x)$ が $x+1$ を因数にもつことは始めから分かっている。実際に $f'(x)=0$ を解くと次のようになる。
\begin{align*}
&3x^2-2x-5=0 \\[4pt]
&(x+1)(3x-5)=0 \\[4pt]
&x=-1,~\dfrac{5}{3}
\end{align*}
よって，$f(x)$ の増減は次のようになる。&3x^2-2x-5=0 \\[4pt]
&(x+1)(3x-5)=0 \\[4pt]
&x=-1,~\dfrac{5}{3}
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline
x & \cdots & -1 & \cdots & \dfrac{5}{3} & \cdots \\\hline
f'(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline
f(x) & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow \\\hline
\end{array}
\end{align*}
$x=-1$ で極大となることが確認できる。\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline
x & \cdots & -1 & \cdots & \dfrac{5}{3} & \cdots \\\hline
f'(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline
f(x) & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow \\\hline
\end{array}
\end{align*}
また，極小値を求めると，
\begin{align*}
f\left(\dfrac{5}{3}\right)&=\dfrac{125}{27}-\dfrac{25}{9}-\dfrac{25}{3} \\[4pt]
&=\dfrac{125-75-225}{27} \\[4pt]
&=-\dfrac{175}{27}
\end{align*}
f\left(\dfrac{5}{3}\right)&=\dfrac{125}{27}-\dfrac{25}{9}-\dfrac{25}{3} \\[4pt]
&=\dfrac{125-75-225}{27} \\[4pt]
&=-\dfrac{175}{27}
\end{align*}
極大値から3次関数の3つの係数を決定
2021年 金沢医科大$a,~b,~c$ を定数とする。3次関数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+1$ は $f'(-1)=12$ を満たし，かつ $x=-\dfrac{1}{2}$ のとき極大値 $\dfrac{11}{4}$ をとる。このとき，$a=\myhako$，$b=-\myhako$，$c=-\myhako$ であり，$f(x)$ は $x=\myhako$ のとき極小値 $-\myhako$ をとる。
ヒロ
この問題では，求める係数が3個だから，3本の方程式を立てる必要がある。
ヒロ
方程式の本数が多くなると，解くのが大変になるが，落ち着いて解くようにしよう。
【解答と考え方】
まず，$f(x)$ を微分して，$f'(x)$ を求めよう。
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+1$ のとき，$f'(x)=3ax^2+2bx+c$
$f'(-1)=12$ より，
$①-②$ より
$f(x)$ の増減は次のようになる。
よって，$a=4,~b=-3,~c=-6$
また，$x=1$ で極小となり，極小値は次のようになる。
まず，$f(x)$ を微分して，$f'(x)$ を求めよう。
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+1$ のとき，$f'(x)=3ax^2+2bx+c$
$f'(-1)=12$ より，
\begin{align*}
&3a-2b+c=12~\cdots\cdots①
\end{align*}
$x=-\dfrac{1}{2}$ で極大値 $\dfrac{11}{4}$ をとるとき，$f’\left(-\dfrac{1}{2}\right)=0$ かつ $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{11}{4}$ が成り立つから&3a-2b+c=12~\cdots\cdots①
\end{align*}
\begin{align*}
&f’\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{4}a-b+c=0~\cdots\cdots② \\[4pt]
&f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{1}{8}a+\dfrac{1}{4}b-\dfrac{1}{2}c+1=\dfrac{11}{4}~\cdots\cdots③
\end{align*}
ここでは $c$ を消去して $a,~b$ の連立方程式をつくる方法で説明する。&f’\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{4}a-b+c=0~\cdots\cdots② \\[4pt]
&f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{1}{8}a+\dfrac{1}{4}b-\dfrac{1}{2}c+1=\dfrac{11}{4}~\cdots\cdots③
\end{align*}
$①-②$ より
\begin{align*}
&\dfrac{9}{4}a-b=12~\cdots\cdots④
\end{align*}
$②+③\times2$ より&\dfrac{9}{4}a-b=12~\cdots\cdots④
\end{align*}
\begin{align*}
&\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}b+2=\dfrac{11}{2}~\cdots\cdots⑤
\end{align*}
$④-⑤\times2$ より&\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}b+2=\dfrac{11}{2}~\cdots\cdots⑤
\end{align*}
\begin{align*}
&\dfrac{5}{4}a-4=1 \\[4pt]
&\dfrac{5}{4}a=5 \\[4pt]
&a=4
\end{align*}
④より&\dfrac{5}{4}a-4=1 \\[4pt]
&\dfrac{5}{4}a=5 \\[4pt]
&a=4
\end{align*}
\begin{align*}
&9-b=12~~\therefore b=-3
\end{align*}
①より&9-b=12~~\therefore b=-3
\end{align*}
\begin{align*}
&12+6+c=12~~\therefore c=-6
\end{align*}
このとき&12+6+c=12~~\therefore c=-6
\end{align*}
\begin{align*}
f(x)&=4x^3-3x^2-6x+1 \\[4pt]
f'(x)&=12x^2-6x-6 \\[4pt]
&=6(2x^2-x-1) \\[4pt]
&=6(2x+1)(x-1)
\end{align*}
$f'(x)=0$ を解くと，$x=-\dfrac{1}{2},~1$f(x)&=4x^3-3x^2-6x+1 \\[4pt]
f'(x)&=12x^2-6x-6 \\[4pt]
&=6(2x^2-x-1) \\[4pt]
&=6(2x+1)(x-1)
\end{align*}
$f(x)$ の増減は次のようになる。
\begin{align*}
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline
x & \cdots & -\dfrac{1}{2} & \cdots & 1 & \cdots \\\hline
f'(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline
f(x) & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow \\\hline
\end{array}
\end{align*}
$x=-\dfrac{1}{2}$ で極大となることが確認できる。\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline
x & \cdots & -\dfrac{1}{2} & \cdots & 1 & \cdots \\\hline
f'(x) & + & 0 & – & 0 & + \\\hline
f(x) & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow \\\hline
\end{array}
\end{align*}
よって，$a=4,~b=-3,~c=-6$
また，$x=1$ で極小となり，極小値は次のようになる。
\begin{align*}
f(1)&=4-3-6+1=-4
\end{align*}
f(1)&=4-3-6+1=-4
\end{align*}