【数学IA】2つの2次方程式の共通解に関する問題

ここでは2つの2次方程式の共通解に関する問題を解説します。

大学入試問題にはあまり出題されないかもしれませんが，出題されたときにちゃんと解けるようにしておきましょう。

Contents

1 2次方程式の共通解に関する問題
2 2次方程式の共通解に関する入試問題

2次方程式の共通解に関する問題

ヒロ

実際に定期テストで出題された問題を解いてみよう。

問題2つの2次方程式 $x^2-x-k=0$，$x^2+8x+2k=0$ が共通な解をもつように，定数 $k$ の値を定めよ。また，その共通の解を求めよ。

【考え方と解答】
2つの2次方程式の共通解を $x=\alpha$ とすると

\begin{align*}
\begin{cases}
\alpha^2-\alpha-k=0 &~\cdots\cdots① \\[4pt]
\alpha^2+8\alpha+2k=0 &~\cdots\cdots②
\end{cases}
\end{align*}

が成り立つ。
$k$ と $\alpha$ の2文字の連立方程式だから，1つの文字を消去しよう。
$\alpha$ を $k$ で表すか，$k$ を $\alpha$ で表すかのどちらかで，式を見ると $k$ を $\alpha$ で表せることが分かる。
①より，$k=\alpha^2-\alpha~\cdots\cdots①’$
②に代入すると

\begin{align*}
&\alpha^2+8\alpha+2(\alpha^2-\alpha)=0 \\[4pt]
&3\alpha^2+6\alpha=0 \\[4pt]
&\alpha(\alpha+2)=0 \\[4pt]
&\alpha=0,~-2
\end{align*}

①’より，

\begin{align*}
(\alpha,~k)=(0,~0),~(-2,~6)
\end{align*}

$k=0$ のとき，2つの2次方程式は

\begin{align*}
\begin{cases}
x^2-x=0 &~\cdots\cdots③\\[4pt]
x^2+8x=0 &~\cdots\cdots④
\end{cases}
\end{align*}

となる。③の解は $x=0,~1$ であり，④の解は $x=0,~-8$ となるから，$x=0$ が共通解となり条件をみたす。
$k=6$ のとき，2つの2次方程式は

\begin{align*}
\begin{cases}
x^2-x-6=0 &~\cdots\cdots⑤\\[4pt]
x^2+8x+12=0 &~\cdots\cdots⑥
\end{cases}
\end{align*}

となる。⑤の解は $x=3,~-2$ であり，④の解は $x=-2,~-6$ となるから，$x=-2$ が共通解となり条件をみたす。

ヒロ

よくある解法は①と②から $\alpha^2$ を消去する方法である。

【別解】
$②-①$ より

\begin{align*}
&9\alpha+3k=0 \\[4pt]
&k=-3\alpha
\end{align*}

①に代入して

\begin{align*}
&\alpha^2-\alpha+3\alpha=0 \\[4pt]
&\alpha^2+2\alpha=0 \\[4pt]
&\alpha(\alpha+2)=0 \\[4pt]
&\alpha=0,~-2
\end{align*}

よって，$(\alpha,~k)=(0,~0),~(-2,~6)$

ヒロ

これらは上で確認したように条件をみたす。

【注意すること】
2つの方程式 $f(x)=0,~g(x)=0$ がともに $x=\alpha$ を解にもつとすると

\begin{align*}
f(\alpha)=0,~g(\alpha)=0
\end{align*}

が成り立つ。さらにこのとき

\begin{align*}
pf(\alpha)+qg(\alpha)=0
\end{align*}

も成り立つ。しかし，$pf(\alpha)+qg(\alpha)=0$ が成り立つからといって

\begin{align*}
f(\alpha)=0~~かつ~~g(\alpha)=0
\end{align*}

となるとは限らない。
例えば，$f(x)=x^2+2x-3$，$g(x)=x+3$ として，2つの方程式 $f(x)=0,~g(x)=0$ を考え，共通解を $x=\alpha$ とする。このとき，$f(\alpha)=0,~g(\alpha)=0$ が成り立つ。
$f(\alpha)=0$ を解くと

\begin{align*}
&\alpha^2+2\alpha-3=0 \\[4pt]
&(\alpha+3)(\alpha-1)=0 \\[4pt]
&\alpha=-3,~1
\end{align*}

$g(\alpha)=0$ を解くと

\begin{align*}
&\alpha+3=0 \\[4pt]
&\alpha=-3
\end{align*}

したがって，2つの方程式 $f(\alpha)=0,~g(\alpha)=0$ は $\alpha=-3$ を共通解としてもつことが分かる。
一方で $f(\alpha)-g(\alpha)=0$ を解くと

\begin{align*}
&(\alpha^2+2\alpha-3)-(\alpha+3)=0 \\[4pt]
&\alpha^2+\alpha-6=0 \\[4pt]
&(\alpha+3)(\alpha-2)=0 \\[4pt]
&\alpha=-3,~2
\end{align*}

となり，本来の共通解である $\alpha=-3$ 以外に $\alpha=2$ という解が現れる。
もちろん $\alpha=2$ は $f(\alpha)-g(\alpha)=0$ をみたすが，$f(\alpha)=0,~g(\alpha)=0$ をみたさない。
したがって，$f(\alpha)-g(\alpha)=0$ から求めた $\alpha$ が元の $f(\alpha)=0$ と $g(\alpha)=0$ をみたすかどうかを確認する必要がある。

2次方程式の共通解に関する入試問題

ヒロ

2011年に立教大で出題された問題を解いてみよう。

2011年立教大2つの異なる2次方程式

\begin{align*}
x^2+3px+4=0,~x^2+3x+4p=0
\end{align*}

が共通の実数解を持つとき，$p$ の値は $\myhako$ である。ただし，$p\neq1$ とする。

【考え方と解答】
共通解を $\alpha$ とすると

\begin{align*}
\begin{cases}
\alpha^2+3p\alpha+4=0 &~\cdots\cdots① \\[4pt]
\alpha^2+3\alpha+4p=0 &~\cdots\cdots②
\end{cases}
\end{align*}

$①-②$ より

\begin{align*}
&3(p-1)\alpha-4(p-1)=0 \\[4pt]
&(p-1)(3\alpha-4)=0
\end{align*}

$p\neq1$ より，$\alpha=\dfrac{4}{3}$
このとき，①より

\begin{align*}
&\dfrac{16}{9}+4+4p=0 \\[4pt]
&4+9+9p=0 \\[4pt]
&p=-\dfrac{13}{9}
\end{align*}

このとき，2つの方程式は

\begin{align*}
x^2-\dfrac{13}{3}x+4=0~\cdots\cdots③,~x^2+3x-\dfrac{52}{9}=0~\cdots\cdots④
\end{align*}

となる。③より

\begin{align*}
&3x^2-13x+12=0 \\[4pt]
&(3x-4)(x-3)=0 \\[4pt]
&x=\dfrac{4}{3},~3
\end{align*}

④より

\begin{align*}
&9x^2+27x-52=0 \\[4pt]
&(3x-4)(3x+13)=0 \\[4pt]
&x=\dfrac{4}{3},~-\dfrac{13}{3}
\end{align*}

したがって，共通解 $x=\dfrac{4}{3}$ をもつから条件を満たす。