ここでは数学Ⅰの定期テストに出題される式の値を求める問題を解説します。
対称式の変形ができることが前提となっているので，対称式が何か分からない人は，次の記事を先に読んでください。
2文字の対称式の値を求めるときには，和と積で表される基本対称式を利用するのが解法のポイントとなります。
そのような変形方法を利用して解ける問題をどんどん増やしましょう。
Contents
定期テストに出題された式の値を求める問題1
問題1$x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ のとき，次の式の値を求めよ。
(1) $x+\dfrac{1}{x}$
(2) $x^2+\dfrac{1}{x^2}$
(1) $x+\dfrac{1}{x}$
(2) $x^2+\dfrac{1}{x^2}$
ヒロ
(1)は $x$ に代入するだけだね。
【(1)の解答】
\begin{align*}
\dfrac{1}{x}&=\dfrac{2}{1+\sqrt{5}} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}
\end{align*}
であるから\dfrac{1}{x}&=\dfrac{2}{1+\sqrt{5}} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}
\end{align*}
\begin{align*}
x+\dfrac{1}{x}&=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \\[4pt]
&=\sqrt{5}
\end{align*}
x+\dfrac{1}{x}&=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \\[4pt]
&=\sqrt{5}
\end{align*}
(2) $x^2+\dfrac{1}{x^2}$
ヒロ
(2)は対称式の変形を利用しよう。
【対称式の変形の応用】
$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$ において，$y=\dfrac{1}{x}$ とおくと
\begin{align*}
x^2+\dfrac{1}{x^2}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2
\end{align*}
また，3乗の和についても同様にx^2+\dfrac{1}{x^2}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2
\end{align*}
\begin{align*}
x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)
\end{align*}
において $y=\dfrac{1}{x}$ とおくとx^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)
\end{align*}
\begin{align*}
x^3+\dfrac{1}{x^3}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)
\end{align*}
が成り立つ。x^3+\dfrac{1}{x^3}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)
\end{align*}
対称式の変形に慣れていれば大丈夫ですね。
【(2)の解答】
\begin{align*}
x^2+\dfrac{1}{x^2}&=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2 \\[4pt]
&=(\sqrt{5})^2-2 \\[4pt]
&=3
\end{align*}
x^2+\dfrac{1}{x^2}&=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2 \\[4pt]
&=(\sqrt{5})^2-2 \\[4pt]
&=3
\end{align*}
定期テストに出題された式の値を求める問題2
問題2$a+b=2\sqrt{2},~a^2+b^2=10$ のとき，$a^3+b^3$ の値を求めよ。
これも対称式になっていますね。
ヒロ
そうだね。まずは基本対称式の $ab$ の値を求めよう。
【解答】
$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$ より
$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$ より
\begin{align*}
&(2\sqrt{2})^2=10+2ab \\[4pt]
&8=10+2ab \\[4pt]
&ab=-1
\end{align*}
よって&(2\sqrt{2})^2=10+2ab \\[4pt]
&8=10+2ab \\[4pt]
&ab=-1
\end{align*}
\begin{align*}
a^3+b^3&=(a+b)^3-3ab(a+b) \\[4pt]
&=(2\sqrt{2})^3-3\Cdota(-1)\Cdota2\sqrt{2} \\[4pt]
&=16\sqrt{2}+6\sqrt{2} \\[4pt]
&=22\sqrt{2}
\end{align*}
a^3+b^3&=(a+b)^3-3ab(a+b) \\[4pt]
&=(2\sqrt{2})^3-3\Cdota(-1)\Cdota2\sqrt{2} \\[4pt]
&=16\sqrt{2}+6\sqrt{2} \\[4pt]
&=22\sqrt{2}
\end{align*}
定期テストに出題された式の値を求める問題3
問題3$a+\dfrac{1}{a}=3$ のとき，次の式の値を求めよ。
(1) $a^2+\dfrac{1}{a^2}$
(2) $a^3+\dfrac{1}{a^3}$
(3) $a-\dfrac{1}{a}$
(1) $a^2+\dfrac{1}{a^2}$
(2) $a^3+\dfrac{1}{a^3}$
(3) $a-\dfrac{1}{a}$
ヒロ
どんどん練習しよう。
【(1)の解答】
\begin{align*}
a^2+\dfrac{1}{a^2}&=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2-2 \\[4pt]
&=3^2-2 \\[4pt]
&=7
\end{align*}
a^2+\dfrac{1}{a^2}&=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2-2 \\[4pt]
&=3^2-2 \\[4pt]
&=7
\end{align*}
(2) $a^3+\dfrac{1}{a^3}$
ヒロ
3乗の和について，丸暗記ではなく，その場で変形できるようになっておこう。
【(2)の解答】
\begin{align*}
a^3+\dfrac{1}{a^3}&=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^3-3\left(a+\dfrac{1}{a}\right) \\[4pt]
&=3^3-3\Cdota3 \\[4pt]
&=18
\end{align*}
a^3+\dfrac{1}{a^3}&=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^3-3\left(a+\dfrac{1}{a}\right) \\[4pt]
&=3^3-3\Cdota3 \\[4pt]
&=18
\end{align*}
(3) $a-\dfrac{1}{a}$
これはどうすれば良いんですか？
ヒロ
2乗してみよう。
【(3)の解答】
\begin{align*}
\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2&=a^2+\dfrac{1}{a^2}-2 \\[4pt]
&=7-2 \\[4pt]
&=5 \\[4pt]
a-\dfrac{1}{a}&=\pm\sqrt{5}
\end{align*}
\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2&=a^2+\dfrac{1}{a^2}-2 \\[4pt]
&=7-2 \\[4pt]
&=5 \\[4pt]
a-\dfrac{1}{a}&=\pm\sqrt{5}
\end{align*}
ヒロ
少し補足しておこう。
【補足説明】
もし $a>1$ という条件があれば，$a-\dfrac{1}{a}>0$ であるから
\begin{align*}
a-\dfrac{1}{a}=\sqrt{5}
\end{align*}
となる。$a$ の値の範囲が指定されている場合は注意しよう。a-\dfrac{1}{a}=\sqrt{5}
\end{align*}
定期テストに出題された式の値を求める問題4
問題4$x-\dfrac{1}{x}=2\sqrt{2}$（ただし $x<0$）のとき，次の式の値を求めよ。
(1) $x^2+\dfrac{1}{x^2}$
(2) $x+\dfrac{1}{x}$
(3) $x^3+\dfrac{1}{x^3}$
(1) $x^2+\dfrac{1}{x^2}$
(2) $x+\dfrac{1}{x}$
(3) $x^3+\dfrac{1}{x^3}$
ヒロ
与えられている等式の符号に注意して計算しよう。
【(1)の解答】
\begin{align*} x^2+\dfrac{1}{x^2}&=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+2 \\[4pt] &=(2\sqrt{2})^2+2 \\[4pt] &=10 \end{align*}
(2) $x+\dfrac{1}{x}$
ヒロ
(2) $x+\dfrac{1}{x}$ (2)は2乗して求めよう。
【(2)の解答】
\begin{align*} \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2&=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2 \\[4pt] &=10+2 \\[4pt] &=12 \end{align*}
$x<0$ より，$x+\dfrac{1}{x}=-2\sqrt{3}$(3) $x^3+\dfrac{1}{x^3}$
ヒロ
(2)を解くことができていれば大丈夫だろう。
【(3)の解答】
\begin{align*} x^3+\dfrac{1}{x^3}&=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right) \\[4pt] &=(-2\sqrt{3})^3-3\Cdota(-2\sqrt{3}) \\[4pt] &=-24\sqrt{3}+6\sqrt{3} \\[4pt] &=-18\sqrt{3} \end{align*}