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2020年 東洋大
2020年 東洋大2次関数 $y=3x^2-2x+1$ の $x=1$ から $x=3$ までの平均変化率は $\myhako$ である。
【考え方と解答】
$f(x)=3x^2-2x+1$ とおくと求める平均変化率は
$f(x)=3x^2-2x+1$ とおくと求める平均変化率は
\begin{align*}
\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{20}{2}=10
\end{align*}
\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{20}{2}=10
\end{align*}
ヒロ
今回は空欄を埋めるだけの問題だから，計算方法は各自の自由である。
ヒロ
結局は放物線上の2点を通る直線の傾きを求めれば良いことを考えると，次のようにして求めることができる。
【別解】
放物線上の2点の $x$ 座標が1と3で，$x^2$ の係数が3，$x$ の係数が $-2$ であるから，求める平均変化率は
放物線上の2点の $x$ 座標が1と3で，$x^2$ の係数が3，$x$ の係数が $-2$ であるから，求める平均変化率は
\begin{align*}
3(1+3)-2=10
\end{align*}
となる。3(1+3)-2=10
\end{align*}
ヒロ
上の計算の詳細については，次の記事で説明している。
定期テストで出題された問題
ヒロ
実際に定期テストで出題された問題を解いてみよう。
問題関数 $f(x)=x^3+2x$ を考える。$x$ が1から3まで変化するときの平均変化率を求めよ。
【考え方と解答】
3次関数でも同じように考えよう。求める平均変化率は
3次関数でも同じように考えよう。求める平均変化率は
\begin{align*}
\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{33-3}{2}=15
\end{align*}
\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{33-3}{2}=15
\end{align*}
定期テストで出題された問題2
問題関数 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ について，$x=2$ から $x=2+h~(h\neq0)$ まで変化するときの平均変化率を求めよ。
【考え方と解答】
分数関数でも同じように考えよう。求める平均変化率は
分数関数でも同じように考えよう。求める平均変化率は
\begin{align*}
\dfrac{f(2+h)-f(2)}{(2+h)-2}&=\dfrac{\dfrac{1}{2+h}-\dfrac{1}{2}}{h} \\[4pt]
&=\dfrac{2-(2+h)}{2h(2+h)} \\[4pt]
&=-\dfrac{1}{2(2+h)}
\end{align*}
\dfrac{f(2+h)-f(2)}{(2+h)-2}&=\dfrac{\dfrac{1}{2+h}-\dfrac{1}{2}}{h} \\[4pt]
&=\dfrac{2-(2+h)}{2h(2+h)} \\[4pt]
&=-\dfrac{1}{2(2+h)}
\end{align*}