【数学ⅡB】直線の方程式【東洋大】

【直線の方程式：基本形】
　$x$ 軸に垂直ではない直線はすべて $y=ax+b$ の形で表すことができる。ここで $a$ を傾きといい，$b$ を切片（$y$ 切片）という。傾きが $a$ とは，$x$ が1増加するとき，$y$ が $a$ 増加することを表している。また $y$ 切片が $b$ とは，グラフが点 $(0,~b)$ を通ることを表している。

基本形では，$x$ 軸に垂直な直線を表すことはできない。

【直線の方程式：切片形】
座標軸上の2点 $(a,~0)$，$(0,~b)$ を通る直線の方程式は $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$ である。

切片形で表された直線では，座標軸に垂直な直線を表すことはできない。

【直線の方程式：一般形】
直線の方程式は必ず $ax+by+c=0$ の形で表すことができる。ただし，$a$ と $b$ が同時に0になることはないとする。
(i) $a=0$ のとき，$y=-\dfrac{c}{b}$ となり，$x$ 軸に平行な直線となる。

(ii) $b=0$ のとき，$x=-\dfrac{c}{a}$ となり，$x$ 軸に垂直な直線となる。

(iii) $a$ も $b$ も0でないとき，点 $\left(0,~-\dfrac{c}{b}\right)$ を通り，傾き $-\dfrac{b}{a}$ の直線となる。

【基本形の直線の方程式】
点 $(p,~q)$ を通り，傾きが $m$ の直線の方程式を求める。傾きが $m$ だから，
の形になるはずである。ここで，点 $(p,~q)$ を通るから，$x$ に $p$ を代入したときに $y=q$ になることを考えると，
となる。もう少し丁寧に説明をしておく。$x=p$ を代入したときに一旦 $y=0$ となるように $y=m(x-p)+\cdots$ という形にする。しかし，実際にはそのときの $y$ の値は $q$ であるから，後ろに $q$ を付けておく。

【与えられた2点の座標に着目する】
(i) 2点の $x$ 座標が等しい（$p$ とする）とき
その直線は $x$ 軸に垂直な直線で，方程式は $x=p$ である。
(ii) 2点の $y$ 座標が等しい（$q$ とする）とき
その直線は $x$ 軸に平行な直線で，方程式は $y=q$ である。
(iii) (i),(ii)以外のとき
与えられた2点の座標を $(p,~q)$，$(r,~s)$ として，直線の傾きを $m$ とする。まずは傾き $m$ を求めよう。
あとは通る1点と傾きが与えられた状態と同じだから
となる。点 $(r,~s)$ を通るとして
としても良い。どちらの点を使っても，同じ式になる。

【考え方と解答】
2点P，Qの $x$ 座標と $y$ 座標はどちらも等しくないから，まず傾きを求める。
直線PQの傾きは
であるから，直線PQの方程式は