2020年センター試験 数学ⅡB 第4問 ベクトル

2020年センター試験数学ⅡB 第4問ベクトルの解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2020年センターⅡB 第4問ベクトル　点Oを原点とする座標空間に2点

\begin{align*}
\mathrm{A}(3,~3,~-6),~\mathrm{B}(2+2\sqrt{3},~2-2\sqrt{3},~-4)
\end{align*}

をとる。3点O，A，Bの定める平面を $\alpha$ とする。また，$\alpha$ に含まれる点Cは

\begin{align*}
\Vec{OA}\perp\Vec{OC},~\Vec{OB}\Cdota\Vec{OC}=24~\cdots\cdots①
\end{align*}

を満たすとする。
(1) $\abs{\Vec{OA}}=\myBox{ア}\sqrt{\myBox{イ}}$, $\abs{\Vec{OB}}=\myBox{ウ}\sqrt{\myBox{エ}}$ であり，$\Vec{OA}\Cdot\Vec{OB}=\myBox{オカ}$ である。
(2) 点Cは平面 $\alpha$ 上にあるので，実数 $s,~t$ を用いて，$\Vec{OC}=s\Vec{OA}+t\Vec{OB}$ と表すことができる。このとき，①から $s=\dfrac{\myBox{キク}}{\myBox{ケ}}$，$t=\myBox{コ}$ である。したがって，$\abs{\Vec{OC}}=\myBox{サ}\sqrt{\myBox{シ}}$ である。
(3) $\Vec{CB}=\left(\myBox{ス},~\myBox{セ},~\myBox{ソタ}\right)$ である。したがって，平面 $\alpha$ 上の四角形OABCは $\myBox{チ}$。$\myBox{チ}$ に当てはまるものを，次の⓪～④のうちから一つ選べ。ただし，少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。
⓪ 正方形である
① 正方形ではないが，長方形である
② 長方形ではないが，平行四辺形である
③ 平行四辺形ではないが，台形である
④ 台形ではない
　$\Vec{OA}\perp\Vec{OC}$ であるので，四角形OABCの面積は $\myBox{ツテ}$ である。
(4) $\Vec{OA}\perp\Vec{OD}$, $\Vec{OC}\Cdot\Vec{OD}=2\sqrt{6}$ かつ $z$ 座標が1であるような点Dの座標は

\begin{align*}
\left(\myBox{ト}+\dfrac{\sqrt{\myBox{ナ}}}{\myBox{ニ}},~
\myBox{ヌ}-\dfrac{\sqrt{\myBox{ネ}}}{\myBox{ノ}},~1\right)
\end{align*}

である。このとき $\kaku{COD}=\myBox{ハヒ}\Deg$ である。
　3点O，C，Dの定める平面を $\beta$ とする。また，$\alpha$ と $\beta$ は垂直であるので，三角形ABCを底面とする四面体DABCの高さは $\sqrt{\myBox{フ}}$ である。したがって，四面体DABCの体積は $\myBox{ヘ}\sqrt{\myBox{ホ}}$ である。

Contents

1 (1)の考え方と解答
2 (2)の考え方と解答
3 (3)の考え方と解答
4 (4)の考え方と解答
5 2020年センター数学ⅡB ベクトルを解いた感想

(1)の考え方と解答

ヒロ

まずはベクトルの大きさと内積という基本の確認。

【ア～カの解答】
$\Vec{OA}=(3,~3,~-6)$ より

\begin{align*}
\abs{\Vec{OA}}&=3\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2} \\[4pt]
&=3\sqrt{6}
\end{align*}

$\Vec{OB}=(2+2\sqrt{3},~2-2\sqrt{3},~-4)$ より

\begin{align*}
\abs{\Vec{OB}}&=2\sqrt{(1+\sqrt{3})^2+(1-\sqrt{3})^2+(-2)^2} \\[4pt]
&=2\sqrt{12}=4\sqrt{3}
\end{align*}

内積は

\begin{align*}
\Vec{OA}\Cdota\Vec{OB}&=6\{(1+\sqrt{3})+(1-\sqrt{3})+4\} \\[4pt]
&=36
\end{align*}

(2)の考え方と解答

(2) 点Cは平面 $\alpha$ 上にあるので，実数 $s,~t$ を用いて，$\Vec{OC}=s\Vec{OA}+t\Vec{OB}$ と表すことができる。このとき，①から $s=\dfrac{\myBox{キク}}{\myBox{ケ}}$，$t=\myBox{コ}$ である。したがって，$\abs{\Vec{OC}}=\myBox{サ}\sqrt{\myBox{シ}}$ である。

ヒロ

2つのベクトルが垂直のときは内積が0になることを利用しよう。

【キ～コの解答】
$\Vec{OA}\perp\Vec{OC}$ より $\Vec{OA}\Cdot\Vec{OC}=0$ であるから

\begin{align*}
&\Vec{OA}\Cdota(s\Vec{OA}+t\Vec{OB})=0 \\[4pt]
&(3\sqrt{6})^2s+36t=0 \\[4pt]
&3s+2t=0
\end{align*}

$\Vec{OB}\Cdot\Vec{OC}=24$ より

\begin{align*}
&\Vec{OB}\Cdota(s\Vec{OA}+t\Vec{OB})=24 \\[4pt]
&36s+(4\sqrt{3})^2t=24 \\[4pt]
&3s+4t=2
\end{align*}

よって，$s=\dfrac{-2}{3},~t=1$

ヒロ

次は $\abs{\Vec{OC}}$ を求めよう。

【サシの解答】
$\Vec{OC}=-\dfrac{2}{3}\Vec{OA}+\Vec{OB}$ より

\begin{align*}
\abs{\Vec{OC}}^2&=\abs{-\dfrac{2}{3}\Vec{OA}+\Vec{OB}}^2 \\[4pt]
&=\dfrac{4}{9}\Cdota54-\dfrac{4}{3}\Cdota36+48 \\[4pt]
&=24-48+48 \\[4pt]
&=24
\end{align*}

$\abs{\Vec{OC}}>0$ より $\abs{\Vec{OC}}=2\sqrt{6}$

(3)の考え方と解答

(3) $\Vec{CB}=\left(\myBox{ス},~\myBox{セ},~\myBox{ソタ}\right)$ である。したがって，平面 $\alpha$ 上の四角形OABCは $\myBox{チ}$。$\myBox{チ}$ に当てはまるものを，次の⓪～④のうちから一つ選べ。ただし，少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。
⓪ 正方形である
① 正方形ではないが，長方形である
② 長方形ではないが，平行四辺形である
③ 平行四辺形ではないが，台形である
④ 台形ではない
　$\Vec{OA}\perp\Vec{OC}$ であるので，四角形OABCの面積は $\myBox{ツテ}$ である。

ヒロ

$\Vec{CB}$ の成分を求めよう。

【ス～タの解答】
$\Vec{OC}=-\dfrac{2}{3}\Vec{OA}+\Vec{OB}$ より

\begin{align*}
&\Vec{OB}-\Vec{OC}=\dfrac{2}{3}\Vec{OA} \\[4pt]
&\Vec{CB}=\dfrac{2}{3}(3,~3,~-6) \\[4pt]
&\Vec{CB}=(2,~2,~-4)
\end{align*}

ヒロ

次は四角形OABCの形状を決定する問題。

【チの解答】
$\Vec{CB}=\dfrac{2}{3}\Vec{OA}$ より，CBとOAは平行である。
また $\mathrm{OC}\perp\mathrm{OA}$ であることを考えると，
四角形OABCは台形である。$\myBox{チ}=③$

ヒロ

次は四角形OABCの面積を求めよう。

【ツテの解答】
四角形OABCは上の図のような台形であるから，その面積は

\begin{align*}
\dfrac{1}{2}(2\sqrt{6}+3\sqrt{6})\Cdota2\sqrt{6}=30
\end{align*}

(4)の考え方と解答

(4) $\Vec{OA}\perp\Vec{OD}$, $\Vec{OC}\Cdot\Vec{OD}=2\sqrt{6}$ かつ $z$ 座標が1であるような点Dの座標は
\begin{align*}
\left(\myBox{ト}+\dfrac{\sqrt{\myBox{ナ}}}{\myBox{ニ}},~
\myBox{ヌ}-\dfrac{\sqrt{\myBox{ネ}}}{\myBox{ノ}},~1\right)
\end{align*}
である。このとき $\kaku{COD}=\myBox{ハヒ}\Deg$ である。
　3点O，C，Dの定める平面を $\beta$ とする。また，$\alpha$ と $\beta$ は垂直であるので，三角形ABCを底面とする四面体DABCの高さは $\sqrt{\myBox{フ}}$ である。したがって，四面体DABCの体積は $\myBox{ヘ}\sqrt{\myBox{ホ}}$ である。

ヒロ

与えられた条件から点Dの座標を求める問題。

【ト～ノの解答】
$\Vec{OD}=(p,~q,~1)$ とおくと，$\Vec{OA}\perp\Vec{OD}$ より

\begin{align*}
&3p+3q-6=0 \\[4pt]
&p+q=2~\cdots\cdots②
\end{align*}

また

\begin{align*}
\Vec{OC}&=-\dfrac{2}{3}\Vec{OA}+\Vec{OB} \\[4pt]
&=-\dfrac{2}{3}(3,~3,~-6)+(2+2\sqrt{3},~2-2\sqrt{3},~-4) \\[4pt]
&=(2\sqrt{3},~-2\sqrt{3},~0)
\end{align*}

であるから, $\Vec{OC}\Cdot\Vec{OD}=2\sqrt{6}$ より

\begin{align*}
&2\sqrt{3}p-2\sqrt{3}q=2\sqrt{6} \\[4pt]
&p-q=\sqrt{2}~\cdots\cdots③
\end{align*}

②，③より $p=1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $q=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
よって，点Dの座標は

\begin{align*}
\left(1+\dfrac{\sqrt{2}}{2},~1-\dfrac{\sqrt{2}}{2},~1\right)
\end{align*}

ヒロ

次は $\kaku{COD}$ を求めよう。

【ハヒの解答】
点Dの座標より

\begin{align*}
\abs{\Vec{OD}}&=\sqrt{\left(1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2
+\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+1} \\[4pt]
&=2
\end{align*}

点Dから辺OCへ下した垂線の足をHとすると，
$\Vec{OC}\Cdot\Vec{OD}=2\sqrt{6}$ より，$\mathrm{OH}=1$ と分かるから
$\sankaku{ODH}$ は $1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形である。
$\mathrm{OH}:\mathrm{OD}=1:2$ より，$\kaku{COD}=60\Deg$