2018年センター試験 数学ⅠA 第2問 三角比

2018年センター試験数学ⅠA 第2問三角比の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2018年センターⅠA 第2問三角比　四角形ABCDにおいて，3辺の長さをそれぞれ $\mathrm{AB}=5$, $\mathrm{BC}=9$, $\mathrm{CD}=3$，
対角線ACの長さを $\mathrm{AC}=6$ とする。このとき

\begin{align*}
\cos\kaku{ABC}=\dfrac{\myBox{ア}}{\myBox{イ}},~\sin\kaku{ABC}=\dfrac{\myBox{ウ}\sqrt{\myBox{エ}}}{\myBox{オ}}
\end{align*}

である。
　ここで，四角形ABCDは台形であるとする。
　次の $\mybox{カ}$ には下の⓪～②から，$\mybox{キ}$ には③・④から当てはまるものを一つずつ選べ。
　$\mathrm{CD}~\myBox{カ}~\mathrm{AB}\Cdot\sin\kaku{ABC}$ であるから $\myBox{キ}$ である。
⓪ $<$　① $=$　② $>$
③ 辺ADと辺BCが平行　④ 辺ABと辺CDが平行
　したがって

\begin{align*}
\mathrm{BD}=\myBox{ク}\sqrt{\myBox{ケコ}}
\end{align*}

である。

Contents

1 考え方と解答
2 2018年センター数学ⅠA 三角比を解いた感想

考え方と解答

ヒロ

3辺の長さから $\cos$ の値を求める問題だから，サクサク計算していこう。

【アイの解答】
余弦定理より

\begin{align*}
\cos\kaku{ABC}&=\dfrac{5^2+9^2-6^2}{2\Cdota5\Cdota9} \\[4pt]
&=\dfrac{25+81-36}{90} \\[4pt]
&=\dfrac{70}{90}=\dfrac{7}{9}
\end{align*}

ヒロ

次は $\cos$ から $\sin$ の値を求める問題。

【ウ～オの解答】
$\sin\kaku{ABC}>0$ より

\begin{align*}
\sin\kaku{ABC}&=\sqrt{1-\cos^2B} \\[4pt]
&=\sqrt{1-\left(\dfrac{7}{9}\right)^2} \\[4pt]
&=\dfrac{4\sqrt{2}}{9}
\end{align*}

ヒロ

次は値の大小比較の問題。

【カの解答】

\begin{align*}
&\mathrm{CD}=3 \\[4pt]
&\mathrm{AB}\sin\kaku{ABC}=5\Cdota\dfrac{4\sqrt{2}}{9}=\dfrac{20\sqrt{2}}{9}
\end{align*}

$20\sqrt{2}>20\times1.4=28$ であるから，$\mathrm{CD}<\mathrm{AB}\sin\kaku{ABC}$ となる。よって，$\myBox{カ}=⓪$

ヒロ

CDと $\mathrm{AB}\sin B$ の大小関係から，どの2辺が平行かを判断する問題。

【キの解答】四角形ABCEが平行四辺形になるように点Eをとると，次のようになる。

四角形ABCDは台形であるから，点DはAE上かCE上のどちらかにある。ここで，$\mathrm{AB}\sin B$ が点Aから辺BCに下ろした垂線AHの長さを表していることを考えよう。そして，先ほどの計算から，垂線AHの長さがCDより長いことが分かっている。したがって，辺AE上に点Dをとろうと思ってもとることができない。次の図では，理解の手助けとして，点Cを中心とする半径3の円を描いた。円と辺AEが共有点をもたないことを次の図で確認しよう。つまり，点Dは辺CE上にある。