2016年センター試験数学ⅠA 第3問場合の数・確率

2016年センター試験数学ⅠA 第3問場合の数・確率の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2016年センターⅠA 第3問確率　赤球4個，青球3個，白球5個，合計12個の球がある。これら12個の球を袋の中に入れ，この袋からAさんがまず1個取り出し，その球をもとに良さずに続いてBさんが1個取り出す。
(1) AさんとBさんが取り出した2個の球のなかに，赤球か青球が少なくとも1個含まれている確率は $\dfrac{\myBox{アイ}}{\myBox{ウエ}}$ である。
(2) Aさんが赤球を取り出し，かつBさんが白球を取り出す確率は $\dfrac{\myBox{オ}}{\myBox{カキ}}$ である。これより，Aさんが取り出した球が赤球であったとき，Bさんが取り出した球が白球である条件付き確率は $\dfrac{\myBox{ク}}{\myBox{ケコ}}$ である。
(3) Aさんは1球取り出したのち，その色を見ずにポケットの中にしまった。Bさんが取り出した球が白球であることがわかったとき，Aさんが取り出した球も白球であった条件付き確率を求めたい。
　Aさんが赤球を取り出し，かつBさんが白球を取り出す確率は $\dfrac{\mybox{オ}}{\mybox{カキ}}$ であり，Aさんが青球を取り出し，かつBさんが白球を取り出す確率は $\dfrac{\myBox{サ}}{\myBox{シス}}$ である。同様に，Aさんが白球を取り出し，かつBさんが白球を取り出す確率を求めることができ，これらの事象は互いに排反であるから，Bさんが白球を取り出す確率は $\dfrac{\myBox{セ}}{\myBox{ソタ}}$ である。
　よって，求める条件付き確率は $\dfrac{\myBox{チ}}{\myBox{ツテ}}$ である。

Contents

1 (1)の解答
2 (2)の解答
3 (3)の解答
4 2016年センター数学ⅠA 場合の数・確率を解いた感想

(1)の解答

ヒロ

Aさんが袋から1個の球を取り出した後，元に戻さないことに注意して確率を計算しよう。

【ア～エの解答】
AさんとBさんが取り出した2個の球のなかに，赤球も青球も含まれていない場合を考える。
このとき，AさんもBさんも白球を取り出すから，その確率は

\begin{align*}
\dfrac{5}{12}\Cdota\dfrac{4}{11}=\dfrac{5}{33}
\end{align*}

よって，求める確率は

\begin{align*}
1-\dfrac{5}{33}=\dfrac{28}{33}
\end{align*}

(2)の解答

(2) Aさんが赤球を取り出し，かつBさんが白球を取り出す確率は $\dfrac{\myBox{オ}}{\myBox{カキ}}$ である。これより，Aさんが取り出した球が赤球であったとき，Bさんが取り出した球が白球である条件付き確率は $\dfrac{\myBox{ク}}{\myBox{ケコ}}$ である。

ヒロ

次は問題文を読み間違えないようにして確率を求めよう。

【オ～キの解答】
Aさんが赤球を取り出し，かつBさんが白球を取り出す確率は

\begin{align*}
\dfrac{4}{12}\Cdota\dfrac{5}{11}=\dfrac{5}{33}
\end{align*}

ヒロ

次は条件付き確率を求める問題。

【ク～コの解答】 Aさんが赤球を取り出す事象を $A_{\mathrm{r}}$，Bさんが白球を取り出す事象を $B_{\mathrm{w}}$ とすると，求める条件付き確率は

\begin{align*}
P_{A_{\mathrm{r}}}(B_{\mathrm{w}})=\dfrac{P(A_{\mathrm{r}}\cap B_{\mathrm{w}})}{P(A_{\mathrm{r}})}
\end{align*}

である。ここで

\begin{align*}
P(A_{\mathrm{r}}\cap B_{\mathrm{w}})=\dfrac{5}{33},~P(A)=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}
\end{align*}

であるから

\begin{align*}
P_{A_{\mathrm{r}}}(B_{\mathrm{w}})=\dfrac{\dfrac{5}{33}}{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{5}{11}
\end{align*}

(3)の解答

(3) Aさんは1球取り出したのち，その色を見ずにポケットの中にしまった。Bさんが取り出した球が白球であることがわかったとき，Aさんが取り出した球も白球であった条件付き確率を求めたい。
　Aさんが赤球を取り出し，かつBさんが白球を取り出す確率は $\dfrac{\mybox{オ}}{\mybox{カキ}}$ であり，Aさんが青球を取り出し，かつBさんが白球を取り出す確率は $\dfrac{\myBox{サ}}{\myBox{シス}}$ である。同様に，Aさんが白球を取り出し，かつBさんが白球を取り出す確率を求めることができ，これらの事象は互いに排反であるから，Bさんが白球を取り出す確率は $\dfrac{\myBox{セ}}{\myBox{ソタ}}$ である。
　よって，求める条件付き確率は $\dfrac{\myBox{チ}}{\myBox{ツテ}}$ である。