1999年センター試験 数学ⅡB 第1問 複素数平面

1999年センター試験数学ⅡB 第1問複素数平面の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

1999年センターⅡB 第1問複素数平面　実数係数の方程式

\begin{align*}
x^3+ax^2+bx+c=0~\cdots\cdots①
\end{align*}

が $x=2$ を解にもつとする。このとき

\begin{align*}
c=-\myBox{ア}\,a-\myBox{イ}\,b-\myBox{ウ}
\end{align*}

であり

\begin{align*}
&x^3+ax^2+bx+c \\[4pt]
&=(x-2)\left\{x^2+\left(a+\myBox{エ}\right)x+\myBox{オ}\,a+b+\myBox{カ}\right\}
\end{align*}

となる。
　①の解を $2,~\alpha,~\beta$ とし，複素数平面において3点 2, $\alpha$, $\beta$ が正方形の異なる三つの頂点になっているとする。さらに，この正方形の一辺の長さが $5\sqrt{2}$ で，$\alpha$, $\beta$ の実部が負であるならば，$\alpha$, $\beta$ は

\begin{align*}
\myBox{キク}\pm\myBox{ケ}\,i
\end{align*}

である。このとき

\begin{align*}
a=\myBox{コ},~b=\myBox{サシ},~c=\myBox{スセソ}
\end{align*}

となる。

Contents

1 考え方と解答
2 1999年センター数学ⅡB 複素数平面を解いた感想

考え方と解答

ヒロ

$x=2$ が解である意味を考えよう。

方程式の解とは$x$ の方程式 $f(x)=0$ が $x=a$ を解にもつとき

\begin{align*}
f(a)=0
\end{align*}

が成り立つ。

【ア～ウの解答】
$x=2$ が①の解であるから

\begin{align*}
&8+4a+2b+c=0 \\[4pt]
&c=-4a-2b-8
\end{align*}

ヒロ

次は3次式を因数分解する問題。

ヒロ

$x=2$ が①の解であることから，因数定理より，①の左辺が $x-2$ を因数にもつことが分かるから割り算をしよう。

因数定理$x$ の多項式 $f(x)$ について $f(a)=0$ が成り立つとき，$f(x)$ は $x-a$ を因数にもつ。

ヒロ

割り算をする方法は，筆算・組立除法・暗算の3通りある。

ヒロ

より速く割り算ができる方法を身に付けよう。

【エ～カの解答】

\begin{align*}
&x^3+ax^2+bx+c \\[4pt]
&=x^3+ax^2+bx-4a-2b-8 \\[4pt]
&=(x-2)\{x^2+(a+2)x+2a+b+4\}
\end{align*}

ヒロ

暗算で割り算をすると，上のようにどのように考えた結果なのかが見た人には伝わらない。

ヒロ

ただ，割り算程度で考えも糞もないので，記述式試験であっても上のように書いても減点されない。

ヒロ

暗算ができない人は，次のように文字に着目する方法もアリだろう。

ヒロ

文字に関係ない $x-2$ が因数としてくくれることが分かっているから，それぞれの文字に着目するとうまくいくはず。

【エ～カの別解】

\begin{align*}
&x^3+ax^2+bx+c \\[4pt]
&=x^3+ax^2+bx-4a-2b-8 \\[4pt]
&=(x^3-8)+a(x^2-4)+b(x-2) \\[4pt]
&=(x-2)(x^2+2x+4)+a(x-2)(x+2)+b(x-2) \\[4pt]
&=(x-2)\{(x^2+2x+4)+a(x+2)+b\} \\[4pt]
&=(x-2)\{x^2+(a+2)x+2a+b+4\}
\end{align*}

ヒロ

次は正方形の頂点を求める問題。

【$2,~\alpha,~\beta$ の位置を把握する】
　①の解が $2,~\alpha,~\beta$ であるから，$\alpha,~\beta$ は

\begin{align*}
x^2+(a+2)x+2a+b+4=0
\end{align*}

の2解である。つまり，$\alpha,~\beta$ の実部が等しいから，複素数平面上で $\alpha,~\beta$ は実軸に対称で，縦に並ぶ。
　さらに，$\alpha,~\beta$ の実部が負であることから，題意の正方形は次のようになっていることが分かる。

【キ～ケの解答】
上のように考えて図を描くと，$\alpha$ の虚部が5であることが分かるから，次の図のようになる。

よって，$\alpha,~\beta$ は $-3\pm5i$ である。

ヒロ

最後は $a,~b,~c$ の値を求める問題。

ヒロ

2次方程式の2解が分かっているから，解と係数の関係を利用すれば係数を求めることができるね。

2次方程式の2解が分かっているとき2解が $p,~q$ となるような2次方程式の1つは

\begin{align*}
x^2-(p+q)x+pq=0
\end{align*}

である。

【コ～ソの解答】
$x^2+(a+2)x+2a+b+4=0$ の2解が $-3\pm5i$ であるから

\begin{align*}
&\begin{cases}
a+2=-\{(-3+5i)+(-3-5i)\} \\[4pt]
2a+b+4=(-3+5i)(-3-5i)
\end{cases}\\[4pt]
&\begin{cases}
a+2=6 \\[4pt]
2a+b+4=34
\end{cases}\\[4pt]
&a=4,~b=22
\end{align*}

3次方程式①の3つの解が $x=2,~-3\pm5i$ より

\begin{align*}
c=-2(-3+5i)(-3-5i)=-68
\end{align*}