【数学IA】3つの集合の共通部分・和集合・補集合

【解答】
(1) $A\cap B\cap C$

(2) $A\cup B\cup C$

(3) $\overline{A}\cap\overline{B}\cap\overline{C}$

(4) $\overline{A}\cup\overline{B}\cup\overline{C}$

【解答】
(1) $(A\cap B)\cap C$
$A\cap B$ は $A$ と $B$ の共通部分であるから，次の図の斜線部分を表す。

これと $C$ の共通部分が求めるものであるから，次の図の斜線部分になる。

(2) $A\cap(B\cap C)$
$B\cap C$ は $B$ と $C$ の共通部分であるから，次の図の斜線部分を表す。

これと $A$ の共通部分が求めるものであるから，次の図の斜線部分になる。

(3) $(A\cup B)\cup C$
$A\cup B$ は $A$ と $B$ の和集合であるから，次の図の斜線部分を表す。

これと $C$ との和集合が求めるものであるから，次の図の斜線部分になる。

(4) $A\cup(B\cup C)$
$B\cup C$ は $B$ と $C$ の和集合であるから，次の図の斜線部分を表す。

これと $A$ との和集合が求めるものであるから，次の図の斜線部分になる。

【解答】
(1) $(A\cap B)\cup C$
$A\cap B$ は次の図の斜線部分である。

求める部分は，上の斜線部分と $C$ との和集合であるから，次の図の斜線部分である。

(2) $(A\cup C)\cap(B\cup C)$
$A\cup C$ は次の図の斜線部分である。

$B\cup C$ は次の図の斜線部分である。

求める部分は，2つの図の共通部分であるから，次の図の斜線部分である。

(3) $(A\cup B)\cap C$
$A\cup B$ は次の図の斜線部分である。

求める部分は，上の斜線部分と $C$ との共通部分であるから，次の図の斜線部分である。

(4) $(A\cap C)\cup(B\cap C)$
$A\cap C$ は次の図の斜線部分である。

$B\cap C$ は次の図の斜線部分である。

求める部分は，2つの図の和集合であるから，次の図の斜線部分である。

【考え方と解答】
(1) $\overline{A}(B\cup C)$
$B\cup C$ は次の斜線部分を表す。

求める部分は，これと $A$ の補集合との共通部分であるから，次の図の斜線部分となる。

(2) $\overline{A\cap B}\cup C$
$\overline{A\cap B}$ は次の斜線部分を表す。

求める部分は，これと $C$ との和集合がであるから，次の図の斜線部分となる。

【考え方と解答】
3つの集合の要素を見ると，3つの集合 $A,~B,~C$ のどの2つに対しても共通部分が存在するから，次のベン図を利用して要素を書き込んでいく。

条件が厳しい部分から考えていくのが良い。つまり，より多くの集合が重なっている部分から考えていくのが良い。
$A\cap B\cap C=\{3\}$ より3つの集合の共通部分に3を書く。

次に $A\cap B=\{3,~5\}$ であるから，$A$ と $B$ の共通部分で $C$ の外部に5を書く。

$B\cap C=\{3,~6\}$，$A\cap C=\{3,~9\}$ であるから，先程と同様にそれぞれ6と9を書く。

それぞれの集合で書いていない要素を書いていく。$A$ の要素で $B$ にも $C$ にも含まれない要素は1と7であり，これらを$A$ の内部だけど $B$ と $C$ の外部になる部分（$A\cap\overline{B\cup C}$）に書く。

同じように $A,~B,~C$ のうち，$B$ だけに含まれる要素や $C$ だけに含まれる要素を書く。

全体集合が10以下の自然数だから，書いていない整数を調べると10が残っていることが分かる。10を $A,~B,~C$ の和集合の外側に書く。

(1) $(A\cap B)\cup C$
$(A\cap B)\cup C$ が表す部分は次の図の斜線部分である。

よって，

(2) $A\cap(B\cup C)$
$A\cap(B\cup C)$ が表す部分は次の図の斜線部分である。

よって，

(3) $\overline{A}\cap(B\cup C)$
$\overline{A}\cap(B\cup C)$ が表す部分は次の図の斜線部分である。

よって，