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2020年 中央大
2020年 中央大3次関数 $f(x)=x^3+3x^2-2$ がある。$a$ を定数として，以下の設問に答えよ。
(1) $y=f(x)$ のグラフ上の点 $(a,~f(a))$ における接線の方程式を求めよ。答は $a$ を用いて $y=mx+b$ の形で表せ。
(2) (1)で求めた接線が点 $(1,~-2)$ を通るような $a$ の値をすべて求めよ。
(1) $y=f(x)$ のグラフ上の点 $(a,~f(a))$ における接線の方程式を求めよ。答は $a$ を用いて $y=mx+b$ の形で表せ。
(2) (1)で求めた接線が点 $(1,~-2)$ を通るような $a$ の値をすべて求めよ。
【(1)の解答と考え方】
計算間違いをしないように落ち着いて計算しよう。
$f(x)=x^3+3x^2-2$ より，$f'(x)=3x^2+6x$ であるから，求める接線の方程式は
計算間違いをしないように落ち着いて計算しよう。
$f(x)=x^3+3x^2-2$ より，$f'(x)=3x^2+6x$ であるから，求める接線の方程式は
\begin{align*}
&y=(3a^2+6a)(x-a)+a^3+3a^2-2 \\[4pt]
&y=(3a^2+6a)x-2a^3-3a^2-2~\cdots\cdots①
\end{align*}
&y=(3a^2+6a)(x-a)+a^3+3a^2-2 \\[4pt]
&y=(3a^2+6a)x-2a^3-3a^2-2~\cdots\cdots①
\end{align*}
(2) (1)で求めた接線が点 $(1,~-2)$ を通るような $a$ の値をすべて求めよ。
【(2)の解答と考え方】
(1)で求めた接線が点 $(1,~-2)$ を通るとき，①に $x=1,~y=-2$ を代入すると成り立つから
(1)で求めた接線が点 $(1,~-2)$ を通るとき，①に $x=1,~y=-2$ を代入すると成り立つから
\begin{align*}
&-2=(3a^2+6a)-2a^3-3a^2-2 \\[4pt]
&2a^3-6a=0 \\[4pt]
&a(a^2-3)=0 \\[4pt]
&a=0,~\pm\sqrt{3}
\end{align*}
&-2=(3a^2+6a)-2a^3-3a^2-2 \\[4pt]
&2a^3-6a=0 \\[4pt]
&a(a^2-3)=0 \\[4pt]
&a=0,~\pm\sqrt{3}
\end{align*}
2020年 津田塾大
2020年 津田塾大$f(x)=x^3-x^2+(-3+\sqrt{3})x$ とし，関数 $y=f(x)$ が表す曲線を $C$ とする。曲線 $C$ 上の点A$(1,~f(1))$ における接線を $l$ とする。また，$l$ と $C$ の共有点のうち，点A以外の点をBとする。
(1) $l$ の方程式を求めよ。
(2) 点Bの座標を求めよ。
(3) 点Bにおける $C$ の接線を $m$ とする。$l$ と $m$ は直交することを示せ。
(1) $l$ の方程式を求めよ。
(2) 点Bの座標を求めよ。
(3) 点Bにおける $C$ の接線を $m$ とする。$l$ と $m$ は直交することを示せ。
【(1)の解答と考え方】
$f(x)=x^3-x^2+(-3+\sqrt{3})x$ より
$f(x)=x^3-x^2+(-3+\sqrt{3})x$ より
\begin{align*}
f'(x)=3x^2-2x-3+\sqrt{3}
\end{align*}
であるから，f'(x)=3x^2-2x-3+\sqrt{3}
\end{align*}
\begin{align*}
f'(1)=3-2-3+\sqrt{3}=-2+\sqrt{3}
\end{align*}
よって，$l$ の方程式はf'(1)=3-2-3+\sqrt{3}=-2+\sqrt{3}
\end{align*}
\begin{align*}
&y=(-2+\sqrt{3})(x-1)-3+\sqrt{3} \\[4pt]
&y=(-2+\sqrt{3})x-1
\end{align*}
&y=(-2+\sqrt{3})(x-1)-3+\sqrt{3} \\[4pt]
&y=(-2+\sqrt{3})x-1
\end{align*}
(2) 点Bの座標を求めよ。
【(2)の解答と考え方】
$y=x^3-x^2+(-3+\sqrt{3})x$，$y=(-2+\sqrt{3})x-1$ を連立して，$y$ を消去すると
3次方程式①の解は，曲線 $C$ と $C$ 上の点Aにおける接線 $l$ の共有点の $x$ 座標であるから，点Aの $x$ 座標が1であることを考えると $x=1$ が重解になることは初めから分かっている。つまり，①の左辺は $(x-1)^2$ を因数にもつ。$x^3$ の係数と定数項に着目すれば，①は
よって，B$(-1,~1-\sqrt{3})$
$y=x^3-x^2+(-3+\sqrt{3})x$，$y=(-2+\sqrt{3})x-1$ を連立して，$y$ を消去すると
\begin{align*}
&x^3-x^2-x+1=0~\cdots\cdots①
\end{align*}
となる。あとはこの3次方程式を解けばよいが，「方程式を解くことだけを考えて解く」のではなく，「方程式の解は何を表しているかを考えて解く」ことが重要である。&x^3-x^2-x+1=0~\cdots\cdots①
\end{align*}
3次方程式①の解は，曲線 $C$ と $C$ 上の点Aにおける接線 $l$ の共有点の $x$ 座標であるから，点Aの $x$ 座標が1であることを考えると $x=1$ が重解になることは初めから分かっている。つまり，①の左辺は $(x-1)^2$ を因数にもつ。$x^3$ の係数と定数項に着目すれば，①は
\begin{align*}
(x-1)^2(x+1)=0
\end{align*}
と変形できるはずで，左辺を展開すれば正しいことも確認できる。これより，$x=1,~-1$ となるから，接点以外の交点の $x$ 座標は $-1$ である。(x-1)^2(x+1)=0
\end{align*}
よって，B$(-1,~1-\sqrt{3})$
3次関数のグラフとその接線の接点，変曲点，交点の $x$ 座標をそれぞれ $a,~b,~c$ とすると，
\begin{align*}
c=3b-2a~\cdots\cdots①
\end{align*}
が成り立つからc=3b-2a~\cdots\cdots①
\end{align*}
\begin{align*}
c=3\Cdota\dfrac{1}{3}-2\Cdota1=-1
\end{align*}
となる。c=3\Cdota\dfrac{1}{3}-2\Cdota1=-1
\end{align*}
ヒロ
空欄に答えだけを書けばよい問題であれば，上のように短時間で簡単に求めることができる。
ヒロ
①が成り立つ理由については，次の記事で説明しているので気になる人は参考にして欲しい。
(3) 点Bにおける $C$ の接線を $m$ とする。$l$ と $m$ は直交することを示せ。
【(3)の解答と考え方】
2直線が垂直であることを証明する方法は複数の方法があるが，ここでは傾きを簡単に求めることができるから「傾きの積が $-1$」になることを証明しよう。
接線 $m$ の傾きは
2直線が垂直であることを証明する方法は複数の方法があるが，ここでは傾きを簡単に求めることができるから「傾きの積が $-1$」になることを証明しよう。
接線 $m$ の傾きは
\begin{align*}
f'(-1)&=3+2-3+\sqrt{3} \\[4pt]
&=2+\sqrt{3}
\end{align*}
であるからf'(-1)&=3+2-3+\sqrt{3} \\[4pt]
&=2+\sqrt{3}
\end{align*}
\begin{align*}
f'(1)\Cdota f'(-1)&=(-2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) \\[4pt]
&=-4+3=-1
\end{align*}
よって，$l$ と $m$ は直交する。f'(1)\Cdota f'(-1)&=(-2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) \\[4pt]
&=-4+3=-1
\end{align*}
2020年 同志社女子大
2020年 同志社女子大$x$ の3次関数 $f(x)=\dfrac{2}{3}x^3+ax^2+bx+c$ の導関数 $f'(x)$ が，$f'(x)=k(x-2)^2$ である。ただし，$a,~b,~c,~k$ は定数である。また，$y=f(x)$ のグラフを $K$ とする。
(1) $k=\myhako,~a=\myhako,~b=\myhako$ である。
(2) $K$ 上の点$(3,~f(3))$ における $K$ の接線 $l$ が点$(0,~-4)$ を通るとき，$c=\myhako$ である。
(1) $k=\myhako,~a=\myhako,~b=\myhako$ である。
(2) $K$ 上の点$(3,~f(3))$ における $K$ の接線 $l$ が点$(0,~-4)$ を通るとき，$c=\myhako$ である。
【(1)の解答と考え方】
$f(x)=\dfrac{2}{3}x^3+ax^2+bx+c$ より
$f(x)=\dfrac{2}{3}x^3+ax^2+bx+c$ より
\begin{align*}
f'(x)=2x^2+2ax+b
\end{align*}
$f'(x)=k(x-2)^2$ となるのはf'(x)=2x^2+2ax+b
\end{align*}
\begin{align*}
k=2~かつ~-4k=2a~かつ~4k=b
\end{align*}
となるときである。よってk=2~かつ~-4k=2a~かつ~4k=b
\end{align*}
\begin{align*}
a=-4,~b=8,~k=2
\end{align*}
a=-4,~b=8,~k=2
\end{align*}
(2) $K$ 上の点$(3,~f(3))$ における $K$ の接線 $l$ が点$(0,~-4)$ を通るとき，$c=\myhako$ である。
【(2)の解答と考え方】
(1)の結果より，$f'(x)=2(x-2)^2$ となるから，$f'(3)=2$ である。また
(1)の結果より，$f'(x)=2(x-2)^2$ となるから，$f'(3)=2$ である。また
\begin{align*}
f(3)&=18+9a+3b+c \\[4pt]
&=18-36+24+c \\[4pt]
&=c+6
\end{align*}
であるから，$l$ の方程式はf(3)&=18+9a+3b+c \\[4pt]
&=18-36+24+c \\[4pt]
&=c+6
\end{align*}
\begin{align*}
&y=2(x-3)+c+6 \\[4pt]
&y=2x+c
\end{align*}
この接線 $l$ が点$(0,~-4)$ を通るときを考えて&y=2(x-3)+c+6 \\[4pt]
&y=2x+c
\end{align*}
\begin{align*}
&c=-4
\end{align*}
&c=-4
\end{align*}