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【数学ⅡB】3次関数の極大値と極小値の和【早稲田大】

3次関数の極大値と極小値の和数学IAIIB
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極値の和に関する問題

2013年 早稲田大・政治経済関数 $f(x)=x^3+ax^2+bx$ が $x=\alpha$ で極大値,$x=\beta$ で極小値をとるとき,次の各問に答えよ。
(1) 極大値と極小値がともに存在するための条件を,$a$ と$b$ を用いて表せ。
(2) $\alpha+\beta$ を $a$ と $b$ を用いて表せ。
(3) $f(\alpha)+f(\beta)$ を $a$ と $b$ を用いて表せ。
(4) $f(\alpha)+f(\beta)=0$ が成り立つための条件を,$a$ と $b$ を用いて表せ。
ヒロ
ヒロ

(1)は3次関数が極値をもつための条件を求める問題だから,サクサク手が動く状態が理想的。

ヒロ
ヒロ

極値をもつ条件や極値をもたない条件については,次の記事が参考になるだろう。

【(1)の解答と考え方】
$f(x)=x^3+ax^2+bx$ のとき,$f'(x)=3x^2+2ax+b$
$f(x)$ が極大値と極小値の両方をもつのは,$f'(x)=0$ が異なる2つの実数解をもつときである。$f'(x)=0$ の判別式を $D$ とすると $D>0$ となるから
\begin{align*}
\dfrac{D}{4}=a^2-3b>0
\end{align*}
よって,求める条件は,$a^2-3b>0$ である。
【(2)の解答と考え方】
$x=\alpha,~\beta$ は $f'(x)=3x^2+2ax+b=0$ の2解であるから,解と係数の関係より
\begin{align*}
\alpha+\beta=-\dfrac{2a}{3}
\end{align*}
【(3)の解答と考え方】
$f(\alpha)+f(\beta)$ を求める際に,$\alpha\beta$ の値も必要になる(このことを知っておこう)から,予め求めておこう。
解と係数の関係より,$\alpha\beta=\dfrac{b}{3}$
\begin{align*} &f(\alpha)+f(\beta)=(\alpha^3+\beta^3)+a(\alpha^2+\beta^2)+b(\alpha+\beta) \\[4pt] &=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)+a\{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\}+b(\alpha+\beta) \\[4pt] &=\left(-\dfrac{2a}{3}\right)^3-3\Cdota\dfrac{b}{3}\left(-\dfrac{2a}{3}\right)+a\left\{\left(-\dfrac{2a}{3}\right)^2-2\Cdota\dfrac{b}{3}\right\}+b\left(-\dfrac{2a}{3}\right) \\[4pt] &=-\dfrac{8}{27}a^3+\dfrac{2}{3}ab+\dfrac{4}{9}a^3-\dfrac{2}{3}ab-\dfrac{2}{3}ab \\[4pt] &=\dfrac{4}{27}a^3-\dfrac{2}{3}ab \end{align*}
【(4)の解答と考え方】
(3)の結果を利用して,$f(\alpha)+f(\beta)=0$ を解く。
\begin{align*}
&\dfrac{4}{27}a^3-\dfrac{2}{3}ab=0 \\[4pt]&2a^3-9ab=0 \\[4pt]&a(2a^2-9b)=0 \\[4pt]&a=0~または~b=\dfrac{2}{9}a^2
\end{align*}
$a=0$ のとき,$a^2-3b>0$ より,$b<0$ $b=\dfrac{2}{9}a^2$ のとき,$a^2-3b>0$ より
\begin{align*}
&a^2-3\Cdota\dfrac{2}{9}a^2>0 \\[4pt]&\dfrac{1}{3}a^2>0 \\[4pt]&a\neq0
\end{align*}
よって,求める条件は
「$a=0$ かつ $b<0$」または「$a\neq0$ かつ $b=\dfrac{2}{9}a^2$」
ヒロ
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実は「3次関数のグラフは変曲点に関して点対称である」ことが分かっている。

ヒロ
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このことについては,次の記事で丁寧に解説しているから参考にしてほしい。

ヒロ
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この性質から次のことが言える。

極値の和と変曲点3次関数 $f(x)$ が$x=\alpha,~\beta$ で極値をとり,$x=p$ で変曲点となるとき,$f(\alpha)+f(\beta)=0$ は $f(p)=0$ と同値である。 極大と極小の中点が変曲点であるから,上のことが成り立つのは簡単に理解できるだろう。
【確認】
$f(x)=x^3+ax^2+bx$ のとき,
\begin{align*} &f'(x)=3x^2+2ax+b \\[4pt] &f”(x)=6x+2a \end{align*}
$f”(x)=0$ を解くと
\begin{align*} 6x+2a=0~~\therefore x=-\dfrac{1}{3}a \end{align*}
よって,変曲点の座標は $\left(-\dfrac{1}{3}a,~f\left(-\dfrac{1}{3}a\right)\right)$ となる。
 極値の和が0であるとき,$f\left(-\dfrac{1}{3}a\right)=0$ であるから
\begin{align*} f\left(-\dfrac{1}{3}a\right)&=\left(-\dfrac{1}{3}a\right)^3+a\left(-\dfrac{1}{3}a\right)^2+b\left(-\dfrac{1}{3}a\right) \\[4pt] &=-\dfrac{1}{27}a^3+\dfrac{1}{9}a^2-\dfrac{1}{3}ab \\[4pt] &=\dfrac{2}{27}a^3-\dfrac{1}{3}ab \end{align*}
この計算から,$f\left(-\dfrac{1}{3}a\right)$ は極値の和を2で割ったもの(極値の平均値)と等しいことが確認できる。
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