ここでは反復試行の確率について解説します。
反復試行同じ条件のもとで繰り返し行う試行を反復試行という。
具体的な反復試行には次のようなものがあります。
- 1個のさいころを繰り返し投げる
- 1枚のコインを繰り返し投げる
- 3人で繰り返しじゃんけんをする
- 引いたくじを元に戻してくじを引くことを繰り返す
実際に定期テストで出題された問題を用いて説明します。
確実に解けるようにしましょう。
反復試行の確率
ヒロ
まずは反復試行の確率の求め方を知っておこう。
反復試行の確率1回の試行で事象 $A$ が起こる確率を $p$ とする。この試行を $n$ 回繰り返し行うとき，事象 $A$ がちょうど $r$ 回起こる確率は
\begin{align*}
\nCk{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}
\end{align*}
となる。\nCk{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}
\end{align*}
【反復試行の確率の補足】
$n$ 回の試行で，事象 $A$ がちょうど $r$ 回起こるとき，何回目に事象 $A$ が起こるかはいろいろなパターンがあるが，1回目から連続して $r$ 回起こるとすると，残りの $n-r$ 回は事象 $A$ 以外が起こることになる。その場合の確率は $p^n(1-p)^{n-r}$ である。
ここで，事象 $A$ が起こる $r$ 回を選ぶ方法は $\nCk{n}{r}$ 通りあるから，事象 $A$ がちょうど $r$ 回起こる確率は
$n$ 回の試行で，事象 $A$ がちょうど $r$ 回起こるとき，何回目に事象 $A$ が起こるかはいろいろなパターンがあるが，1回目から連続して $r$ 回起こるとすると，残りの $n-r$ 回は事象 $A$ 以外が起こることになる。その場合の確率は $p^n(1-p)^{n-r}$ である。
ここで，事象 $A$ が起こる $r$ 回を選ぶ方法は $\nCk{n}{r}$ 通りあるから，事象 $A$ がちょうど $r$ 回起こる確率は
\begin{align*}
\nCk{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}
\end{align*}
となる。\nCk{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}
\end{align*}
さいころを繰り返し投げるときの確率
問題1個のさいころを6回投げるとき，次の場合の確率を求めよ。
(1) 1の目がちょうど5回出る。
(2) 6の約数の目がちょうど2回出る。
(1) 1の目がちょうど5回出る。
(2) 6の約数の目がちょうど2回出る。
【(1)の考え方と解答】
さいころを1回投げるとき，1の目が出る確率は $\dfrac{1}{6}$ であるから，求める確率は
さいころを1回投げるとき，1の目が出る確率は $\dfrac{1}{6}$ であるから，求める確率は
\begin{align*}
\nCk{6}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^5\Cdota\dfrac{5}{6}=\dfrac{5}{7776}
\end{align*}
\nCk{6}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^5\Cdota\dfrac{5}{6}=\dfrac{5}{7776}
\end{align*}
(2) 6の約数の目がちょうど2回出る。
【(2)の考え方と解答】
さいころの目の中で6の約数は1, 2, 3, 6であるから，さいころを1回投げるとき，6の約数の目が出る確率は $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$ である。したがって，6の約数の目がちょうど2回出る確率は
さいころの目の中で6の約数は1, 2, 3, 6であるから，さいころを1回投げるとき，6の約数の目が出る確率は $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$ である。したがって，6の約数の目がちょうど2回出る確率は
\begin{align*}
&\nCk{6}{2}\left(\dfrac{2}{3}\right)^2\left(\dfrac{1}{3}\right)^4 \\[4pt]
&=15\Cdota\dfrac{4}{3^6}=\dfrac{20}{243}
\end{align*}
&\nCk{6}{2}\left(\dfrac{2}{3}\right)^2\left(\dfrac{1}{3}\right)^4 \\[4pt]
&=15\Cdota\dfrac{4}{3^6}=\dfrac{20}{243}
\end{align*}
硬貨を繰り返し投げるときの確率
問題1枚の硬貨を6回投げるとき，6回目に3度目の表が出る確率を求めよ。
【考え方と解答】
6回目に3度目の表が出るのは，5回目までに表がちょうど2回出て（裏が3回出る）6回目に表が出るときだから，その確率は
6回目に3度目の表が出るのは，5回目までに表がちょうど2回出て（裏が3回出る）6回目に表が出るときだから，その確率は
\begin{align*}
&\nCk{5}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\times\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&=\dfrac{10}{2^6}=\dfrac{5}{32}
\end{align*}
&\nCk{5}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\times\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&=\dfrac{10}{2^6}=\dfrac{5}{32}
\end{align*}
トランプに関する確率
問題ジョーカーを含まないトランプ52枚から1枚ずつ取り出して，元に戻す試行を5回行うとき，ハートのカードが2回以上出る確率を求めよ。
【考え方と解答】
5回の試行で「2回以上」とあるから，2回のとき，3回のとき，4回のとき，5回のときの4つに場合分けをして，それぞれの確率を求めて足すことで答えが得られる。「4つの場合分けなんてしてられるか！」と思う人は考え方を変えることで楽をすることができないかを考えよう。
「そうならないとき」つまり余事象を考えるとハードのカードが1回も出ないときと1回だけ出るときだと分かる。この2つのときの確率の和を全体1から引けば答えが得られることが分かるだろう。
1回の試行においてハートのカードが出る確率は $\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}$ であるから，ハート以外のカードが出る確率は
$1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$
(i) ハートのカードが1回も出ないとき
5回の試行すべてにおいて，ハート以外のカードが出るから，その確率は
ハートのカードが1回出て，ハート以外のカードが4回出るから，その確率は
5回の試行で「2回以上」とあるから，2回のとき，3回のとき，4回のとき，5回のときの4つに場合分けをして，それぞれの確率を求めて足すことで答えが得られる。「4つの場合分けなんてしてられるか！」と思う人は考え方を変えることで楽をすることができないかを考えよう。
「そうならないとき」つまり余事象を考えるとハードのカードが1回も出ないときと1回だけ出るときだと分かる。この2つのときの確率の和を全体1から引けば答えが得られることが分かるだろう。
1回の試行においてハートのカードが出る確率は $\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}$ であるから，ハート以外のカードが出る確率は
$1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$
(i) ハートのカードが1回も出ないとき
5回の試行すべてにおいて，ハート以外のカードが出るから，その確率は
\begin{align*}
\left(\dfrac{3}{4}\right)^5=\dfrac{243}{1024}
\end{align*}
(ii) ハートのカードが1回だけ出るとき\left(\dfrac{3}{4}\right)^5=\dfrac{243}{1024}
\end{align*}
ハートのカードが1回出て，ハート以外のカードが4回出るから，その確率は
\begin{align*}
\nCk{5}{1}\Cdota\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{3}{4}\right)^4=\dfrac{405}{1024}
\end{align*}
(i), (ii)より求める確率は\nCk{5}{1}\Cdota\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{3}{4}\right)^4=\dfrac{405}{1024}
\end{align*}
\begin{align*}
&1-\left(\dfrac{243}{1024}+\dfrac{405}{1024}\right) \\[4pt]
&=1-\dfrac{648}{1024} \\[4pt]
&=1-\dfrac{81}{128}=\dfrac{47}{128}
\end{align*}
&1-\left(\dfrac{243}{1024}+\dfrac{405}{1024}\right) \\[4pt]
&=1-\dfrac{648}{1024} \\[4pt]
&=1-\dfrac{81}{128}=\dfrac{47}{128}
\end{align*}
条件をみたす回数が異なる確率
問題ストライクとボールを $2:1$ の割合で投げる投手が，打者のいない投球練習場でフォアボール（ストライクが3球になる前に，ボールが4球になる）を出す確率を求めよ。
【考え方と解答】
1球投げるときストライクになる確率は $\dfrac{2}{3}$ で，ボールになる確率は $\dfrac{1}{3}$ である。
この問題のように，条件をみたすまでに試行回数が異なる場合は，試行回数に着目すると良い。今回はフォアボールになるまでの投球数に着目する。
最も少ない投球数でフォアボールになるのは，1球目から4回連続ボールを投げるときだから4球と分かる。また，最も多い投球数になるのは，ストライクを2級，ボールを4球投げるときだから6球である。つまり，フォアボールになるまでの投球数は4, 5, 6のいずれかであることが分かる。1つずつ考えていく。
(i) 4球のとき
4回連続ボールを投げるときだから，その確率は
4球までにストライクを1回，ボールを3回投げて，5球目にボールを投げるときだから，その確率は
5球までにストライクを2回，ボールを3回投げて，6球目にボールを投げるときだから，その確率は
1球投げるときストライクになる確率は $\dfrac{2}{3}$ で，ボールになる確率は $\dfrac{1}{3}$ である。
この問題のように，条件をみたすまでに試行回数が異なる場合は，試行回数に着目すると良い。今回はフォアボールになるまでの投球数に着目する。
最も少ない投球数でフォアボールになるのは，1球目から4回連続ボールを投げるときだから4球と分かる。また，最も多い投球数になるのは，ストライクを2級，ボールを4球投げるときだから6球である。つまり，フォアボールになるまでの投球数は4, 5, 6のいずれかであることが分かる。1つずつ考えていく。
(i) 4球のとき
4回連続ボールを投げるときだから，その確率は
\begin{align*}
\left(\dfrac{1}{3}\right)^4=\dfrac{1}{81}
\end{align*}
(ii) 5球のとき\left(\dfrac{1}{3}\right)^4=\dfrac{1}{81}
\end{align*}
4球までにストライクを1回，ボールを3回投げて，5球目にボールを投げるときだから，その確率は
\begin{align*}
\nCk{4}{1}\Cdota\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{3}\right)^3\times\dfrac{1}{3}&=\dfrac{8}{3^5}=\dfrac{8}{243}
\end{align*}
(iii) 6球のとき\nCk{4}{1}\Cdota\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{3}\right)^3\times\dfrac{1}{3}&=\dfrac{8}{3^5}=\dfrac{8}{243}
\end{align*}
5球までにストライクを2回，ボールを3回投げて，6球目にボールを投げるときだから，その確率は
\begin{align*}
\nCk{5}{2}\left(\dfrac{2}{3}\right)^2\left(\dfrac{1}{3}\right)^3\times\dfrac{1}{3}&=\dfrac{10\Cdot4}{3^6}=\dfrac{40}{729}
\end{align*}
(i)～(iii)より，求める確率は\nCk{5}{2}\left(\dfrac{2}{3}\right)^2\left(\dfrac{1}{3}\right)^3\times\dfrac{1}{3}&=\dfrac{10\Cdot4}{3^6}=\dfrac{40}{729}
\end{align*}
\begin{align*}
\dfrac{1}{81}+\dfrac{8}{243}+\dfrac{40}{729}&=\dfrac{9+24+40}{729} \\[4pt]
&=\dfrac{73}{729}
\end{align*}
\dfrac{1}{81}+\dfrac{8}{243}+\dfrac{40}{729}&=\dfrac{9+24+40}{729} \\[4pt]
&=\dfrac{73}{729}
\end{align*}