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定積分と不等式の証明の入試問題 第二弾【高知大・広島大】

定積分を含む不等式の証明 第二弾数学III
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2003年 広島大の入試問題の考え方

2003年 広島大$S_n=\dint{n\pi}{(n+1)\pi}\dfrac{1-\cos x}{x^2}\;dx$ $(n=1,~2,~3,~\cdots)$ とおくとき,次の問いに答えよ。
(1) すべての $n=1,~2,~3,~\cdots$ について,
\begin{align*}
\dfrac{1}{\pi(n+1)^2}\leqq S_n\leqq\dfrac{1}{\pi n^2}
\end{align*}
が成り立つことを示せ。
(2) $\dlim{n\to\infty}\dfrac{1}{n^3}\Sum{k=1}{n}\dfrac{1}{S_k}$ の値を求めよ。
ヒロ
ヒロ

(1)は証明するべき不等式の形と $\cos x$ の取り得る値の範囲から,$\dfrac{1-\cos x}{x^2}$ を含む不等式を作る方法を考えよう。

【(1)の解答】
$n\pi\leqq x\leqq(n+1)\pi$ のとき,
\begin{align*}
&\dfrac{1}{(n+1)^2\pi^2}\leqq\dfrac{1}{x^2}\leqq\dfrac{1}{n^2\pi^2}
\end{align*}
$-1\leqq\cos x\leqq1$ より,$1-\cos x\geqq0$ であるから
\begin{align*}
\dfrac{1-\cos x}{(n+1)^2\pi^2}\leqq\dfrac{1-\cos x}{x^2}\leqq\dfrac{1-\cos x}{n^2\pi^2}
\end{align*}
よって
\begin{align*}
\dint{n\pi}{(n+1)\pi}\dfrac{1-\cos x}{(n+1)^2\pi^2}\;dx\leqq\dint{n\pi}{(n+1)\pi}\dfrac{1-\cos x}{x^2}\;dx\leqq\dint{n\pi}{(n+1)\pi}\dfrac{1-\cos x}{n^2\pi^2}\;dx
\end{align*}
が成り立つ。ここで
\begin{align*}
\dint{n\pi}{(n+1)\pi}(1-\cos x)\;dx&=\tint{x-\sin x}{n\pi}{(n+1)\pi} \\[4pt]
&=\pi
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
&\dfrac{\pi}{(n+1)^2\pi^2}\leqq\dint{n\pi}{(n+1)\pi}\dfrac{1-\cos x}{x^2}\;dx\leqq\dfrac{\pi}{n^2\pi^2} \\[4pt]
&\dfrac{1}{\pi(n+1)^2}\leqq S_n\leqq\dfrac{1}{\pi n^2}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

(2)は極限を求める問題だけど,(1)で不等式の証明をさせていることから,はさみうちの原理を利用するはずだと考えよう。

【(2)の解答】
(1)の結果より
\begin{align*}
\pi k^2\leqq\dfrac{1}{S_k}\leqq\pi(k+1)^2
\end{align*}
が成り立つから
\begin{align*}
\dfrac{1}{n^3}\Sum{k=1}{n}\pi k^2\leqq\dfrac{1}{n^3}\Sum{k=1}{n}\dfrac{1}{S_k}\leqq\dfrac{1}{n^3}\Sum{k=1}{n}\pi(k+1)^2
\end{align*}
ここで
\begin{align*}
\dlim{n\to\infty}\dfrac{1}{n^3}\Sum{k=1}{n}\pi k^2&=\dlim{n\to\infty}\dfrac{\pi}{n^3}\Cdota\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\[4pt]
&=\dlim{n\to\infty}\dfrac{\pi}{6}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(2+\dfrac{1}{n}\right) \\[4pt]
&=\dfrac{\pi}{6}\Cdota1\Cdota2 \\[4pt]
&=\dfrac{\pi}{3}
\end{align*}
また,
\begin{align*}
\dlim{n\to\infty}\dfrac{1}{n^3}\Sum{k=1}{n}\pi(k+1)^2&=\dlim{n\to\infty}\dfrac{\pi}{n^3}\Cdota\left\{\dfrac{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3)-1\right\} \\[4pt]
&=\dlim{n\to\infty}\dfrac{\pi}{6}\left\{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(2+\dfrac{3}{n}\right)-\dfrac{6}{n^3}\right\} \\[4pt]
&=\dfrac{\pi}{6}\Cdota1\Cdota1\Cdota2 \\[4pt]
&=\dfrac{\pi}{3}
\end{align*}
となるから,はさみうちの原理より
\begin{align*}
\dlim{n\to\infty}\dfrac{1}{n^3}\Sum{k=1}{n}\dfrac{1}{S_k}=\dfrac{\pi}{3}
\end{align*}

まとめ

ヒロ
ヒロ

取り得る値の範囲を考えて,不等式をうまく作ることによって,与えられた不等式を証明しよう。

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