方程式の整数解 －積が一定－【広島工業大・東京理科大・富山大】

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方程式の整数解を求める問題3

2010年東京理科大$kl+k-2l-9=0$ を満たす整数 $k,~l$ の組は，$k$ の値が大きい順に，

\begin{align*}
(k,~l)=\left(\myhako,~\myhako\right),~\left(\myhako,~\myhako\right),~\left(\myhako,~-\myhako\right),~\left(-\myhako,~-\myhako\right)
\end{align*}

である。これを用いると，

\begin{align*}
(m+2n)(2m-n)-3m+4n-9=0
\end{align*}

を満たす整数 $m,~n$ の組は

\begin{align*}
(m,~n)=\left(\myhako,~\myhako\right),~\left(-\myhako,~\myhako\right)
\end{align*}

であることが分かる。

【前半の考え方と解答】
「$積=一定$」の形に変形しよう。$kl+k-2l-9=0$ の前3つの項を見て

\begin{align*}
&(k-2)(l+1)+\cdots=0
\end{align*}

積の形を作ってから後ろを調整しよう。$(k-2)(l+1)$ を展開すると $kl+k-2l-2$ となるから，定数項が $-9$ となるようにすると，次のようになる。

\begin{align*}
&(k-2)(l+1)-7=0 \\[4pt]
&(k-2)(l+1)=7
\end{align*}

$k-2,~l+1$ は整数であるから，$k$ が大きい順に

\begin{align*}
&(k-2,~l+1)=(7,~1),~(1,~7),~(-1,~-7),~(-7,~-1) \\[4pt]
&(k,~l)=(9,~0),~(3,~6),~(1,~-8),~(-5,~-2)
\end{align*}

ヒロ

後半については「これを用いると」とあるから，どのように利用するのかを考えよう。

【後半の考え方と解答】
とりあえず $k=m+2n$, $l=2m-n$ とおいてみると

\begin{align*}
k-2l&=(m+2n)-2(2m-n) \\[4pt]
&-3m+4n
\end{align*}

となるから，与えられた $m,~n$ の方程式は，前半の $k,~l$ の方程式と一致する。
$k=m+2n$, $l=2m-n$ より，$m=\dfrac{k+2l}{5}$, $n=\dfrac{2k-l}{5}$ となるから，前半で求めた4組の $k,~l$ に対して $m,~n$ の値を求めると

\begin{align*}
(m,~n)&=\left(\dfrac{9}{5},~\dfrac{18}{5}\right),~\left(\dfrac{15}{5},~\dfrac{0}{5}\right),~\left(\dfrac{-15}{5},~\dfrac{10}{5}\right),~\left(\dfrac{-9}{5},~\dfrac{-8}{5}\right)
\end{align*}

$m,~n$ は整数であるから，

\begin{align*}
(m,~n)=(3,~0),~(-3,~2)
\end{align*}