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- 1 方程式の整数解を求める問題
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- 1 方程式の整数解を求める問題2
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- 1 方程式の整数解を求める問題3
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- 1 方程式の整数解を求める問題4
方程式の整数解を求める問題3
2010年 東京理科大kl+k−2l−9=0 を満たす整数 k, l の組は，k の値が大きい順に，
(k, l)=( ア , ア ), ( ア , ア ), ( ア , − ア ), (− ア , − ア )
である。これを用いると，(m+2n)(2m−n)−3m+4n−9=0
を満たす整数 m, n の組は(m, n)=( ア , ア ), (− ア , ア )
であることが分かる。【前半の考え方と解答】
「積=一定」の形に変形しよう。kl+k−2l−9=0 の前3つの項を見て
「積=一定」の形に変形しよう。kl+k−2l−9=0 の前3つの項を見て
(k−2)(l+1)+⋯=0
積の形を作ってから後ろを調整しよう。(k−2)(l+1) を展開すると kl+k−2l−2 となるから，定数項が −9 となるようにすると，次のようになる。(k−2)(l+1)−7=0(k−2)(l+1)=7
k−2, l+1 は整数であるから，k が大きい順に(k−2, l+1)=(7, 1), (1, 7), (−1, −7), (−7, −1)(k, l)=(9, 0), (3, 6), (1, −8), (−5, −2)
ヒロ
後半については「これを用いると」とあるから，どのように利用するのかを考えよう。
【後半の考え方と解答】
とりあえず k=m+2n, l=2m−n とおいてみると
k=m+2n, l=2m−n より，m=k+2l5, n=2k−l5 となるから，前半で求めた4組の k, l に対して m, n の値を求めると
とりあえず k=m+2n, l=2m−n とおいてみると
k−2l=(m+2n)−2(2m−n)−3m+4n
となるから，与えられた m, n の方程式は，前半の k, l の方程式と一致する。k=m+2n, l=2m−n より，m=k+2l5, n=2k−l5 となるから，前半で求めた4組の k, l に対して m, n の値を求めると
(m, n)=(95, 185), (155, 05), (−155, 105), (−95, −85)
m, n は整数であるから，(m, n)=(3, 0), (−3, 2)