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方程式の整数解 -積が一定-【広島工業大・東京理科大・富山大】

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方程式の整数解【積が一定】数学IAIIB

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方程式の整数解を求める問題4

2019年 富山大整式
\begin{align*}
P(x,~y,~z)=xyz-3xy-2xz-yz+6x+3y+2z-6
\end{align*}
を考える。次の問いに答えよ。
(1) $P(x,~y,~z)$ を因数分解せよ。
(2) $P(0,~y,~z)=1$ を満たす整数の組 $(y,~z)$ をすべて求めよ。
(3) $xyz-3xy-2xz-yz+6x+3y+2z-7=0$ を満たす自然数の組 $(x,~y,~z)$ をすべて求めよ。
【(1)の考え方と解答】
どの文字の最高次数も1で等しいから $x$ について整理して因数分解しよう。
\begin{align*}
P(x,~y,~z)&=(yz-3y-2z+6)x-yz+3y+2z-6 \\[4pt]&=(yz-3y-2z+6)(x-1) \\[4pt]&=(x-1)(y-2)(z-3)
\end{align*}

(2) $P(0,~y,~z)=1$ を満たす整数の組 $(y,~z)$ をすべて求めよ。

【(2)の考え方と解答】
(1)の結果を利用すると
\begin{align*}
P(0,~y,~z)=-(y-2)(z-3)
\end{align*}
となるから,$P(0,~y,~z)=1$ より
\begin{align*}
(y-2)(z-3)=-1
\end{align*}
$y,~z$ は整数であるから
\begin{align*}
&(y-2,~z-3)=(-1,~1),~(1,~-1) \\[4pt]&(y,~z)=(1,~4),~(3,~2)
\end{align*}

(3) $xyz-3xy-2xz-yz+6x+3y+2z-7=0$ を満たす自然数の組 $(x,~y,~z)$ をすべて求めよ。

【(3)の考え方と解答】
(1)の結果を利用することを考える。与えられた方程式より
\begin{align*}
&xyz-3xy-2xz-yz+6x+3y+2z-6=1 \\[4pt]&(x-1)(y-2)(z-3)=1
\end{align*}
$x,~y,~z$ は自然数より,$x-1\geqq0,~y-2\geqq-1,~z-3\geqq-2$ であるから
\begin{align*}
&(x-1,~y-2,~z-3)=(1,~-1,~-1),~(1,~1,~1) \\[4pt]&(x,~y,~z)=(2,~1,~2),~(2,~3,~4)
\end{align*}
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