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【数学IA】最大公約数と最小公倍数【北星学園大・松山大・東京電機大】

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最大公約数と最小公倍数数学IAIIB

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最大公約数と最小公倍数に関する問題

2019年 北星学園大自然数 $m,~n$ の最大公約数が15,最小公倍数が270であるとき,$m,~n$ の値を求めよ。ただし,$m<n$ とする。
【考え方と解答】
$m,~n$ の最大公約数が15であるから,互いに素な整数 $m’,~n’$ を用いて
\begin{align*} m=15m’,~n=15n’ \end{align*}
と表すことができる。また,2つの自然数の積は最大公約数と最小公倍数の積に等しいから
\begin{align*} &15^2m’n’=15\times270 \\[4pt] &m’n’=18 \end{align*}
$m<n$ より $m'<n’$ であるから
\begin{align*} (m’,~n’)=(1,~18),~(2,~9) \end{align*}
したがって,求める2つの自然数 $m,~n$ の値は
\begin{align*} (m,~n)=(15,~270),~(30,~135) \end{align*}

最大公約数と最小公倍数に関する問題2

2018年 松山大最小公倍数が126である2つの自然数 $a,~b$ がある。$a$ と $b$ の積が2646となるとき,$a=\myhako$, $b=\myhako$ である。ただし,$30\leqq a<b\leqq80$ である。
【考え方と解答】
$a$ と $b$ の最大公約数を $g$ とすると
\begin{align*} &ab=126g=2646 \\[4pt] &g=21 \end{align*}
よって,互いに素な整数 $a’,~b’$ を用いて
\begin{align*} a=21a’,~b=21b’ \end{align*}
と表すことができるから
\begin{align*} &21^2a’b’=2646 \\[4pt] &a’b’=6 \end{align*}
$a\geqq30$ より $a’\geqq2$ である。さらに $a<b$ より $a'<b’$ であるから
\begin{align*} (a’,~b’)=(2,~3) \end{align*}
したがって,$a=42,~b=63$

最大公約数と最小公倍数に関する問題3

2016年 東京電機大和が22,最小公倍数が60となる2つの自然数を求めよ。
【考え方と解答】
求める2つの自然数を $a,~b~(a\leqq b)$ とし,最大公約数が $g$ とすると,互いに素な整数 $a’,~b’$ を用いて
\begin{align*}
a=ga’,~b=gb’
\end{align*}
と表すことができる。
和が22,最小公倍数が60であるから
\begin{align*}
&g(a’+b’)=22 \\[4pt]&ga’b’=60
\end{align*}
$g$ は22の約数でもあり,60の約数でもあるから,$g=1$ または $g=2$ である。
$g=1$ のとき,
\begin{align*}
a’+b’=22,~a’b’=60
\end{align*}
となり,和と積が偶数であるから,$a’$ と $b’$ はともに偶数となり,互いに素であることに反するから不適。
 したがって,$g=2$ であり,このとき
\begin{align*}
a’+b’=11,~a’b’=30
\end{align*}
$a’$ と $b’$ を2解にもつ $t$ の2次方程式の1つは
\begin{align*}
t^2-11t+30=0
\end{align*}
であり,これを解くと
\begin{align*}
&(t-5)(t-6)=0 \\[4pt]&t=5,~6
\end{align*}
$a\leqq b$ より $a’\leqq b’$ であるから,$a’=5,~b’=6$
よって,$a=10,~b=12$
したがって,求める2つの自然数は10と12である。
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