最大公約数と最小公倍数に関する問題
2019年 北星学園大自然数 $m,~n$ の最大公約数が15，最小公倍数が270であるとき，$m,~n$ の値を求めよ。ただし，$m<n$ とする。
【考え方と解答】
$m,~n$ の最大公約数が15であるから，互いに素な整数 $m’,~n’$ を用いて
$m,~n$ の最大公約数が15であるから，互いに素な整数 $m’,~n’$ を用いて
\begin{align*} m=15m’,~n=15n’ \end{align*}
と表すことができる。また，2つの自然数の積は最大公約数と最小公倍数の積に等しいから \begin{align*} &15^2m’n’=15\times270 \\[4pt] &m’n’=18 \end{align*}
$m<n$ より $m'<n’$ であるから \begin{align*} (m’,~n’)=(1,~18),~(2,~9) \end{align*}
したがって，求める2つの自然数 $m,~n$ の値は \begin{align*} (m,~n)=(15,~270),~(30,~135) \end{align*}
最大公約数と最小公倍数に関する問題2
2018年 松山大最小公倍数が126である2つの自然数 $a,~b$ がある。$a$ と $b$ の積が2646となるとき，$a=\myhako$, $b=\myhako$ である。ただし，$30\leqq a<b\leqq80$ である。
【考え方と解答】
$a$ と $b$ の最大公約数を $g$ とすると
$a$ と $b$ の最大公約数を $g$ とすると
\begin{align*} &ab=126g=2646 \\[4pt] &g=21 \end{align*}
よって，互いに素な整数 $a’,~b’$ を用いて \begin{align*} a=21a’,~b=21b’ \end{align*}
と表すことができるから \begin{align*} &21^2a’b’=2646 \\[4pt] &a’b’=6 \end{align*}
$a\geqq30$ より $a’\geqq2$ である。さらに $a<b$ より $a'<b’$ であるから \begin{align*} (a’,~b’)=(2,~3) \end{align*}
したがって，$a=42,~b=63$最大公約数と最小公倍数に関する問題3
2016年 東京電機大和が22，最小公倍数が60となる2つの自然数を求めよ。
【考え方と解答】
求める2つの自然数を $a,~b~(a\leqq b)$ とし，最大公約数が $g$ とすると，互いに素な整数 $a’,~b’$ を用いて
和が22，最小公倍数が60であるから
$g=1$ のとき，
したがって，$g=2$ であり，このとき
よって，$a=10,~b=12$
したがって，求める2つの自然数は10と12である。
求める2つの自然数を $a,~b~(a\leqq b)$ とし，最大公約数が $g$ とすると，互いに素な整数 $a’,~b’$ を用いて
\begin{align*}
a=ga’,~b=gb’
\end{align*}
と表すことができる。a=ga’,~b=gb’
\end{align*}
和が22，最小公倍数が60であるから
\begin{align*}
&g(a’+b’)=22 \\[4pt]&ga’b’=60
\end{align*}
$g$ は22の約数でもあり，60の約数でもあるから，$g=1$ または $g=2$ である。&g(a’+b’)=22 \\[4pt]&ga’b’=60
\end{align*}
$g=1$ のとき，
\begin{align*}
a’+b’=22,~a’b’=60
\end{align*}
となり，和と積が偶数であるから，$a’$ と $b’$ はともに偶数となり，互いに素であることに反するから不適。a’+b’=22,~a’b’=60
\end{align*}
したがって，$g=2$ であり，このとき
\begin{align*}
a’+b’=11,~a’b’=30
\end{align*}
$a’$ と $b’$ を2解にもつ $t$ の2次方程式の1つはa’+b’=11,~a’b’=30
\end{align*}
\begin{align*}
t^2-11t+30=0
\end{align*}
であり，これを解くとt^2-11t+30=0
\end{align*}
\begin{align*}
&(t-5)(t-6)=0 \\[4pt]&t=5,~6
\end{align*}
$a\leqq b$ より $a’\leqq b’$ であるから，$a’=5,~b’=6$&(t-5)(t-6)=0 \\[4pt]&t=5,~6
\end{align*}
よって，$a=10,~b=12$
したがって，求める2つの自然数は10と12である。