【数学ⅡB】連立不等式の表す領域【東北大・学習院大・中京大】

Contents

ページ1
1 円と放物線を境界線とする領域【東北大】
ページ2
1 三角形の成立条件と領域【学習院大】
2 直線を境界線とする領域【中京大】

三角形の成立条件と領域【学習院大】

2019年学習院大平面上の点 $(x,~y)$ について，次の条件
　3辺の長さが $1,~x,~y$ であるような三角形が存在する。
を満たす点 $(x,~y)$ からなる領域を求め，図示せよ。

ヒロ

三角形の成立条件については，次の記事を参考にしよう。

【数学IA】三角形の成立条件

ここでは三角形の成立条件に関する問題を解説します。三角形の3つの辺の長さは好きなように設定することはできません。例えば長さが1, 1, 2の3本の線分からは三角形を作ることはできません。したがって，3本の線分から三角形を作ることができるとき...

【考え方と解答】
3辺の長さが $1,~x,~y$ である三角形が存在する条件は

\begin{align*}
\abs{x-y}<1<x+y \end{align*}

である。$x\geqq y$ のとき

\begin{align*} &x-y<1<x+y \\[4pt] &\begin{cases} y>x-1 \\[4pt]
y>-x+1
\end{cases}
\end{align*}

$x\leqq y$ のとき

\begin{align*}
&y-x<1<x+y \\[4pt] &\begin{cases} y<x+1 \\[4pt] y>-x+1
\end{cases}
\end{align*}

以上より，条件をみたす点 $(x,~y)$ の存在範囲は下図の斜線部分となる。ただし，境界を含まない。

直線を境界線とする領域【中京大】

2020年中京大$a\geqq0,~b\geqq0,~c\geqq0$，$a+b+c=1$ のとき，$x=a+3b+2c$，$y=3a+4b+c$ で表せる点 $(x,~y)$ が存在する範囲を求め，その領域を $xy$ 平面上に図示せよ。

【考え方と解答】
　3つの等式から，$a,~b,~c$ を $x,~y$ で表すことができる。$a\geqq0,~b\geqq0,~c\geqq0$ に代入することで，$x,~y$ の不等式を3つ作ることができる。あとは，その3つの不等式が表す領域を図示すれば終わりだね。
　$a+b+c=1$ より，$c=1-a-b$
$x=a+3b+2c$，$y=3a+4b+c$ に代入して

\begin{align*}
x&=a+3b+2(1-a-b) \\[4pt]
&=-a+b+2 \cdots\cdots① \\[4pt]
y&=3a+4b+(1-a-b) \\[4pt]
&=2a+3b+1 \cdots\cdots②
\end{align*}

$①\times3-②$ より

\begin{align*}
&3x-y=-5a+5 \\[4pt]
&a=\dfrac{1}{5}(-3x+y+5)~\cdots\cdots③
\end{align*}

$①\times2+②$ より

\begin{align*}
&2x+y=5b+5 \\[4pt]
&b=\dfrac{1}{5}(2x+y-5)~\cdots\cdots④
\end{align*}

③を $a\geqq0$ に代入して

\begin{align*}
-3x+y-5\geqq0~\cdots\cdots⑤
\end{align*}

④を $b\geqq0$ に代入して

\begin{align*}
2x+y-5\geqq0~\cdots\cdots⑥
\end{align*}

$c\geqq0$ より，$1-a-b\geqq0$ であるから，③と④を代入して

\begin{align*}
&1-\dfrac{1}{5}(-3x+y+5)-\dfrac{1}{5}(2x+y-5)\geqq0 \\[4pt]
&x-2y+5\geqq0~\cdots\cdots⑦
\end{align*}

⑤，⑥，⑦の境界線 $-3x+y-5=0$，$2x+y-5=0$，$x-2y+5=0$ をそれぞれ $l_1,~l_2,~l_3$ とし，$l_1$ と $l_2$ の交点をP$(2,~1)$，$l_2$ と $l_3$ の交点をQ$(1,~3)$，$l_3$ と $l_1$ の交点をR$(3,~4)$ とする。
求める領域は，$\sankaku{PQR}$ の周および内部で，下図の斜線部分である。ただし，境界を含む。