【数学ⅡB】直線に関して対称な直線【芝浦工業大・津田塾大】

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直線に関して対称な直線を求める問題【芝浦工業大】

2018年芝浦工業大直線 $l_1:y=2x-10$ と直線 $y=x$ との交点をAとする。また，直線 $y=x$ に関して，$l_1$ 上の点B$(4,~-2)$ と対称な点をCとする。このとき，2点A，Cを通る直線の方程式は，$y=\myhako$ である。

【考え方と解答】
$y=2x-10$，$y=x$ より $y$ を消去すると

\begin{align*}
&2x-10=x \\[4pt]
&x=10
\end{align*}

よって，A$(10,~10)$
点Cの座標を $(X,~Y)$ とするとBCの中点が直線 $y=x$ 上にあるから

\begin{align*}
&\dfrac{X+4}{2}=\dfrac{Y-2}{2} \\[4pt]
&X-Y=-6~\cdots\cdots①
\end{align*}

BCと直線 $y=x$ が直交するから

\begin{align*}
&\dfrac{Y+2}{X-4}\Cdota1=-1 \\[4pt]
&Y+2=-X+4 \\[4pt]
&X+Y=2~\cdots\cdots②
\end{align*}

①，②より，$X=-2,~Y=4$
よって，C$(-2,~4)$ となる。ACの傾きは

\begin{align*}
\dfrac{10-4}{10-(-2)}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}
\end{align*}

となるから2点A，Cを通る直線の方程式は

\begin{align*}
&y=\dfrac{1}{2}(x+2)+4 \\[4pt]
&y=\dfrac{1}{2}x+5
\end{align*}

直線に関して対称な直線を求める問題【津田塾大】

2006年津田塾大直線 $y=-x$ を対称の軸として，直線 $y=3x+2$ と対称な直線の式を求めよ。

【考え方と解答】
　まず，2直線の交点Aを求める。$y=-x$，$y=3x+2$ より $y$ を消去すると

\begin{align*}
&3x+2=-x \\[4pt]&x=-\dfrac{1}{2}
\end{align*}

よって，A$\left(-\dfrac{1}{2},~\dfrac{1}{2}\right)$
　また，直線 $y=-x$ に関する直線 $y=3x+2$ 上の点の対称点を求める。どの点を考えるかは自由であるが，書きやすさや計算のことなどを考慮すると，格子点（$x$ 座標と $y$ 座標がともに整数である点）を考えた方が良いだろう。今回は点B$(-1,~-1)$ の対称点B$’$ を考えることにする。直線 $y=-x$ に関して対称な点は $x$ 座標と $y$ 座標を入れ換えて符号を変えれば良いことを利用すると，B$'(1,~1)$ となる。
　2点A，B$’$ を通る直線の方程式が求めるものである。AB$’$ の傾きは

\begin{align*}
\dfrac{1-\dfrac{1}{2}}{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)}=\dfrac{2-1}{2+1}=\dfrac{1}{3}
\end{align*}

であるから，求める直線の方程式は

\begin{align*}
&y=\dfrac{1}{3}(x-1)+1 \\[4pt]&y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}
\end{align*}