2020年センター試験 数学ⅠA 第4問 整数

2020年センター試験数学ⅠA 第4問整数の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2020年センターⅠA 第4問整数(1) $x$ を循環小数 $2.\dot{3}\dot{6}$ とする。すなわち

\begin{align*}
x=2.363636\cdots\cdots
\end{align*}

とする。このとき

\begin{align*}
100\times x-x=236.\dot{3}\dot{6}-2.\dot{3}\dot{6}
\end{align*}

であるから，$x$ を分数で表すと

\begin{align*}
x=\dfrac{\myBox{アイ}}{\myBox{ウエ}}
\end{align*}

である。
(2) 有理数 $y$ は，7進法で表すと，二つの数字の並び $ab$ が繰り返し現れる循環小数 $2.\dot{a}\dot{b}_{(7)}$ になるとする。ただし，$a,~b$ は0以上6以下の異なる整数である。このとき

\begin{align*}
49\times y-y=2ab.\dot{a}\dot{b}_{(7)}-2.\dot{a}\dot{b}_{(7)}
\end{align*}

であるから

\begin{align*}
y=\dfrac{\myBox{オカ}+7\times a+b}{\myBox{キク}}
\end{align*}

と表せる。
(i) $y$ が，分子が奇数で分母が4である分数で表されるのは

\begin{align*}
y=\dfrac{\myBox{ケ}}{4}~または~y=\dfrac{\myBox{コサ}}{4}
\end{align*}

のときである。$y=\dfrac{\mybox{コサ}}{4}$ のときは，$7\times a+b=\myBox{シス}$ であるから

\begin{align*}
a=\myBox{セ},~b=\myBox{ソ}
\end{align*}

である。
(ii) $y-2$ は，分子が1で分母が2以上の整数である分数で表されるとする。このような $y$ の個数は，全部で $\myBox{タ}$ 個である。

Contents

1 (1)の考え方と解答
2 (2)の考え方と解答
- 2.1 (2)(i)の考え方と解答
- 2.2 (2)(ii)の考え方と解答
3 2020年センター数学ⅠA 整数を解いた感想

(1)の考え方と解答

ヒロ

循環小数を分数で表す問題は次のポイントを知っていると時短になるね。

循環小数を分数で表す簡易法次の公式を覚えておくと循環小数を一瞬で分数で表すことができる。

\begin{align*}
&0.\dot{a}\dot{b}=\dfrac{ab}{99} \\[4pt]
&0.\dot{a}b\dot{c}=\dfrac{abc}{999} \\[4pt]
&0.\underbrace{\dot{p}\cdots\dot{q}}_{n個}=\dfrac{\overbrace{p\cdots q}^{n個}}{\underbrace{9\cdots9}_{n個}}
\end{align*}

【ア～エの解答】
$x=2.\dot{3}\dot{6}$ を分数で表すと

\begin{align*}
x&=2+\dfrac{36}{99} \\[4pt]
&=2+\dfrac{4}{11} \\[4pt]
&=\dfrac{26}{11}
\end{align*}

(2)の考え方と解答

(2) 有理数 $y$ は，7進法で表すと，二つの数字の並び $ab$ が繰り返し現れる循環小数 $2.\dot{a}\dot{b}_{(7)}$ になるとする。ただし，$a,~b$ は0以上6以下の異なる整数である。このとき
\begin{align*}
49\times y-y=2ab.\dot{a}\dot{b}_{(7)}-2.\dot{a}\dot{b}_{(7)}
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
y=\dfrac{\myBox{オカ}+7\times a+b}{\myBox{キク}}
\end{align*}
と表せる。

ヒロ

7進法の循環小数になっているが，理解していれば10進法と変わらない。

ヒロ

それに結局10進法で表す問題だから，単なる計算問題だね。

【オ～クの解答】
$49\times y-y=2ab.\dot{a}\dot{b}_{(7)}-2.\dot{a}\dot{b}_{(7)}$ より

\begin{align*}
48y&=2\times7^2+a\times7+b-2 \\[4pt]
y&=\dfrac{96+7\times a+b}{48}
\end{align*}

(2)(i)の考え方と解答

(i) $y$ が，分子が奇数で分母が4である分数で表されるのは
\begin{align*}
y=\dfrac{\myBox{ケ}}{4}~または~y=\dfrac{\myBox{コサ}}{4}
\end{align*}
のときである。$y=\dfrac{\mybox{コサ}}{4}$ のときは，$7\times a+b=\myBox{シス}$ であるから
\begin{align*}
a=\myBox{セ},~b=\myBox{ソ}
\end{align*}
である。

ヒロ

いま求めた $y$ が分子が奇数で分母が4である分数になる条件を求める問題。

【ケ～サの解答】

$y=2.\dot{a}\dot{b}_{(7)}$ より，$2<y<3$ であるから，$y$ が分子が奇数で，分母が4である分数で表されるのは

\begin{align*} y=\dfrac{9}{4}~または~y=\dfrac{11}{4} \end{align*}

のときである。

ヒロ

$y=\dfrac{11}{4}$ となる $a,~b$ の値を求めよう。

【シ～ソの解答】

$y=\dfrac{11}{4}$ のとき

\begin{align*} &\dfrac{96+7a+b}{48}=\dfrac{11}{4} \\[4pt] &96+7a+b=12\times11 \\[4pt] &7a+b=12\times(11-8) \\[4pt] &7a+b=36 \end{align*}

$a,~b$ は0以上6以下の異なる整数であるから

\begin{align*} &0\leqq36-7a\leqq6 \\[4pt] &\dfrac{30}{7}\leqq a\leqq\dfrac{36}{7} \end{align*}

よって，$a=5$ である。このとき $b=1$ である。

(2)(ii)の考え方と解答

(ii) $y-2$ は，分子が1で分母が2以上の整数である分数で表されるとする。このような $y$ の個数は，全部で $\myBox{タ}$ 個である。

【タの解答】
$y-2=\dfrac{7\times a+b}{48}$ であるから，$7\times a+b$ は48の約数である。分母が2以上であるから

\begin{align*}
7\times a+b=1,~2,~3,~4,~6,~8,~12,~24
\end{align*}

となるときである。よって，$a=0,~1,~2,~3$ であることが分かるから1つずつ調べる。
$a=0$ のとき，$b=1,~2,~3,~4,~6$
$a=1$ のとき，$a\neq b$ より $b=5$
$a=2$ のとき，$b\leqq6$ より $b$ は存在しない。
$a=3$ のとき，$a\neq b$ より $b$ は存在しない。
以上より，$a,~b$ の組み合わせが6通りあるから，$y$ は6個存在する。