2019年 センター試験 数学ⅡB 第1問 三角関数

2019年センター試験数学ⅡB 第1問三角関数の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2019年センターⅡB 三角関数関数 $f(\theta)=3\sin^2\theta+4\sin\theta\cos\theta-\cos^2\theta$ を考える。
(1) $f(0)=\myBox{アイ}$，$f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\myBox{ウ}+\sqrt{\myBox{エ}}$ である。
(2) 2倍角の公式を用いて計算すると，$\cos^2\theta=\dfrac{\cos2\theta+\myBox{オ}}{\myBox{カ}}$ となる。さらに，$\sin2\theta,~\cos2\theta$ を用いて $f(\theta)$ を表すと

\begin{align*}
f(\theta)=\myBox{キ}\sin2\theta-\myBox{ク}\cos2\theta+\myBox{ケ}~\cdots\cdots①
\end{align*}

となる。
(3) $\theta$ が $0\leqq\theta\leqq\pi$ の範囲を動くとき，関数 $f(\theta)$ のとり得る最大の整数の値 $m$ とそのときの $\theta$ の値を求めよう。
　三角関数の合成を用いると，①は

\begin{align*}
f(\theta)=\myBox{コ}\sqrt{\myBox{サ}}\sin\left(2\theta-\dfrac{\pi}{\myBox{シ}}\right)+\mybox{ケ}
\end{align*}

と変形できる。したがって，$m=\myBox{ス}$ である。
　また，$0\leqq\theta\leqq\pi$ において，$f(\theta)=\mybox{ス}$ となる $\theta$ の値は，小さい順に，$\dfrac{\theta}{\myBox{セ}},~\dfrac{\pi}{\myBox{ソ}}$ である。

Contents

1 (1)の解答
2 (2)の解答
3 (3)の解答
4 2019年センター数学IIB 三角関数を解いた感想

(1)の解答

ヒロ

最初は $f(\theta)$ の値を求める問題。落ち着いて計算しよう。

【ア～エの解答】
$\sin0=0,~\cos0=1$ より

\begin{align*}
f(0)=-1
\end{align*}

$\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2},~\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$ より

\begin{align*}
f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)&=3\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+4\Cdota\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Cdota\dfrac{1}{2}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \\[4pt]
&=\dfrac{9}{4}+\sqrt{3}-\dfrac{1}{4} \\[4pt]
&=2+\sqrt{3}
\end{align*}

(2)の解答

(2) 2倍角の公式を用いて計算すると，$\cos^2\theta=\dfrac{\cos2\theta+\myBox{オ}}{\myBox{カ}}$ となる。さらに，$\sin2\theta,~\cos2\theta$ を用いて $f(\theta)$ を表すと
\begin{align*}
f(\theta)=\myBox{キ}\sin2\theta-\myBox{ク}\cos2\theta+\myBox{ケ}~\cdots\cdots①
\end{align*}
となる。

ヒロ

誘導通り，2倍角の公式から半角の公式を導いても良いけど，半角の公式を覚えていれば一瞬だね。

【オカの解答】
2倍角の公式より

\begin{align*}
&\cos2\theta=2\cos^2\theta-1 \\[4pt]
&\cos^2\theta=\dfrac{\cos2\theta+1}{2}
\end{align*}

ヒロ

次は $f(\theta)$ を $2\theta$ で表す問題。慣れている人なら，この流れは次に合成をして最大値か最小値を求めさせるのだろうと予想ができる。

【キ～ケの解答】
$\sin^2\theta=\dfrac{1-\cos2\theta}{2}$，$\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1}{2}\sin2\theta$ であるから

\begin{align*}
f(\theta)&=3\Cdota\dfrac{1-\cos2\theta}{2}+2\sin2\theta-\dfrac{\cos2\theta+1}{2} \\[4pt]
&=2\sin2\theta-2\cos2\theta+1
\end{align*}

(3)の解答

(3) $\theta$ が $0\leqq\theta\leqq\pi$ の範囲を動くとき，関数 $f(\theta)$ のとり得る最大の整数の値 $m$ とそのときの $\theta$ の値を求めよう。
　三角関数の合成を用いると，①は
\begin{align*}
f(\theta)=\myBox{コ}\sqrt{\myBox{サ}}\sin\left(2\theta-\dfrac{\pi}{\myBox{シ}}\right)+\mybox{ケ}
\end{align*}
と変形できる。したがって，$m=\myBox{ス}$ である。
　また，$0\leqq\theta\leqq\pi$ において，$f(\theta)=\mybox{ス}$ となる $\theta$ の値は，小さい順に，$\dfrac{\theta}{\myBox{セ}},~\dfrac{\pi}{\myBox{ソ}}$ である。

ヒロ

予想通り合成の問題。

ヒロ

加法定理の逆を考えるだけで，合成することができることを知らない人が多い。

ヒロ

思考停止状態で合成の方法を丸暗記という状態だけは避けよう。

【コ～シの解答】

\begin{align*}
f(\theta)&=2\sin2\theta-2\cos2\theta+1 \\[4pt]
&=2\sqrt{2}\left(\sin2\theta\Cdota\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\cos2\theta\Cdota\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)+1 \\[4pt]
&=2\sqrt{2}\sin\left(2\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)+1
\end{align*}

ヒロ

$f(\theta)$ の取り得る値の範囲を考えて，$m$ の値を求めよう。

【スの解答】
$0\leqq\theta\leqq\pi$ のとき $-\dfrac{\pi}{4}\leqq2\theta-\dfrac{\pi}{4}\leqq\dfrac{7}{4}\pi$ であるから

\begin{align*}
-1\leqq\sin\left(2\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)\leqq1
\end{align*}

よって，

\begin{align*}
-2\sqrt{2}+1\leqq f(\theta)\leqq2\sqrt{2}+1
\end{align*}

ここで，$2\sqrt{2}=\sqrt{8}$ より，$2<\sqrt{8}<3$ であるから

\begin{align*}
3<2\sqrt{2}+1<4
\end{align*}

よって，$f(\theta)$ の取り得る最大の整数値 $m$ は，$m=3$ である。

ヒロ

最後は $f(\theta)=3$ を満たす $\theta$ を求めよう。

【セソの解答】
$f(\theta)=3$ より

\begin{align*}
&2\sqrt{2}\sin\left(2\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)=2 \\[4pt]
&\sin\left(2\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\[4pt]
&2\theta-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4},~\dfrac{3}{4}\pi \\[4pt]
&\theta=\dfrac{\pi}{4},~\dfrac{\pi}{2}
\end{align*}