2017年センター試験 数学ⅠA 第1問 二次関数の解説をします。
まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。
2017年 センターⅠA 第1問 二次関数 $a$ を定数とし，
とおく。2次関数 $y=g(x)$ のグラフの頂点は
$a$ が実数全体を動くとき，頂点の $x$ 座標の最小値は $-\dfrac{\myBox{ナニ}}{\myBox{ヌネ}}$ である。次に，$t=a^2$ とおくと，頂点の $y$ 座標は
とおく。2次関数 $y=g(x)$ のグラフの頂点は
\begin{align*}
\left(\myBox{セ}\,a^2+\myBox{ソ}\,a,~\myBox{タ}\,a^4+\myBox{チツ}\,a^2+\myBox{テト}\right)
\end{align*}
である。\left(\myBox{セ}\,a^2+\myBox{ソ}\,a,~\myBox{タ}\,a^4+\myBox{チツ}\,a^2+\myBox{テト}\right)
\end{align*}
$a$ が実数全体を動くとき，頂点の $x$ 座標の最小値は $-\dfrac{\myBox{ナニ}}{\myBox{ヌネ}}$ である。次に，$t=a^2$ とおくと，頂点の $y$ 座標は
\begin{align*}
\mybox{タ}\,a^4+\mybox{チツ}\,a^2+\mybox{テト}
\end{align*}
と表せる。したがっで $a$ が実数全体を動くとき，頂点の $y$ 座標の最小値は $\myBox{ノハ}$ である。\mybox{タ}\,a^4+\mybox{チツ}\,a^2+\mybox{テト}
\end{align*}
考え方と解答
ヒロ
まずは頂点の座標を求める問題。
【セ～トの解答】
頂点の $x$ 座標は $3a^2+5a$ である。判別式を $D$ とすると
頂点の $x$ 座標は $3a^2+5a$ である。判別式を $D$ とすると
\begin{align*}
\dfrac{D}{4}&=(3a^2+5a)^2-(18a^4+30a^3+49a^2+16) \\[4pt]
&=-9a^4-24a^2-16
\end{align*}
であるから，頂点の $y$ 座標は\dfrac{D}{4}&=(3a^2+5a)^2-(18a^4+30a^3+49a^2+16) \\[4pt]
&=-9a^4-24a^2-16
\end{align*}
\begin{align*}
y&=-\dfrac{D}{4} \\[4pt]
&=9a^4+24a^2+16
\end{align*}
y&=-\dfrac{D}{4} \\[4pt]
&=9a^4+24a^2+16
\end{align*}
ヒロ
次は $x$ を $a$ の関数とみて最小値を求める問題。
【ナ～ネの解答】
\begin{align*}
x&=3a^2+5a \\[4pt]
&=3\left(a+\dfrac{5}{6}\right)^2-\dfrac{25}{12}
\end{align*}
よって，求める最小値は $-\dfrac{25}{12}$ である。x&=3a^2+5a \\[4pt]
&=3\left(a+\dfrac{5}{6}\right)^2-\dfrac{25}{12}
\end{align*}
ヒロ
最後は $y$ を $t$ の関数と見て最小値を求める問題。$t\geqq0$ であることに注意しよう。
【ノハの解答】
\begin{align*}
y&=9t^2+24t+16 \\[4pt]
&=(3t+4)^2
\end{align*}
$t\geqq0$ より，$t=0$ のとき $y$ は最小値16をとる。y&=9t^2+24t+16 \\[4pt]
&=(3t+4)^2
\end{align*}
2017年 センター数学ⅠA 二次関数を解いた感想
ヒロ
二次関数の定数項が $a$ の4次式という見た目に圧倒されないようにしよう。
ヒロ
判別式を利用する方法で頂点を求めることで，記述量が少なくなるので，速く解けるだろう。
ヒロ
最後の問題では，$t$ が0以上であることを意識していないとパニックになる恐れがある。
ヒロ
$t=a^2$ というように変数変換したときは，新しい文字の定義域を確認するようにしよう。
