ここでは分数の数列の和の応用問題について解説します。
分数式の和を求める場合は，差の形を作るのが基本です。
どの部分が消えてどの部分が残るかを書きださなくても分かるようにするのが良いでしょう。
2021年 立教大
2021年 立教大一般項が $a_n=\dfrac{2}{n(n+2)}$ であるような数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_n>\dfrac{7}{6}$ を満たす最小の自然数 $n$ は $\myhako$ である。
ヒロ
分数式の和の基本的な考え方については次の記事を参考にしよう。
【解答と考え方】
\begin{align*}
S_n&=\Sum{k=1}{n}a_k \\[4pt]
&=\Sum{k=1}{n}\dfrac{2}{k(k+2)} \\[4pt]
&=\Sum{k=1}{n}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+2}\right) \\[4pt]
&=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}
\end{align*}
となるから，$S_n>\dfrac{7}{6}$ のときS_n&=\Sum{k=1}{n}a_k \\[4pt]
&=\Sum{k=1}{n}\dfrac{2}{k(k+2)} \\[4pt]
&=\Sum{k=1}{n}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+2}\right) \\[4pt]
&=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}
\end{align*}
\begin{align*}
&1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}>\dfrac{7}{6} \\[4pt]
&9(n+1)(n+2)-6(n+2)-6(n+1)>7(n+1)(n+2) \\[4pt]
&2(n+1)(n+2)-6(2n+3)>0 \\[4pt]
&n^2-3n-7>0 \\[4pt]
&n(n-3)>7
\end{align*}
ここで&1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}>\dfrac{7}{6} \\[4pt]
&9(n+1)(n+2)-6(n+2)-6(n+1)>7(n+1)(n+2) \\[4pt]
&2(n+1)(n+2)-6(2n+3)>0 \\[4pt]
&n^2-3n-7>0 \\[4pt]
&n(n-3)>7
\end{align*}
\begin{align*}
&4\Cdota1=4<7 \\[4pt] &5\Cdota2=10>7
\end{align*}
であるから，$S_n>\dfrac{7}{6}$ を満たす最小の自然数 $n$ は $n=5$ である。&4\Cdota1=4<7 \\[4pt] &5\Cdota2=10>7
\end{align*}
2021年 松山大
2021年 松山大次の式を計算すると
\begin{align*}
\dfrac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{11}}+\dfrac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{12}}+\dfrac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{13}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}
\end{align*}
の値 $S$ は $S=\myhako-\sqrt{\myhako}$ となる。\dfrac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{11}}+\dfrac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{12}}+\dfrac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{13}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}
\end{align*}
【解答と考え方】
\begin{align*}
（与式）&=\Sum{k=10}{99}\dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} \\[4pt]
&=\Sum{k=10}{99}(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) \\[4pt]
&=\sqrt{100}-\sqrt{10} \\[4pt]
&=10-\sqrt{10}
\end{align*}
（与式）&=\Sum{k=10}{99}\dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} \\[4pt]
&=\Sum{k=10}{99}(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) \\[4pt]
&=\sqrt{100}-\sqrt{10} \\[4pt]
&=10-\sqrt{10}
\end{align*}
2018年 大同大
2018年 大同大$\Sum{k=1}{10}\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}=\dfrac{\myhako}{\myhako}$ である。
【解答と考え方】
\begin{align*}
&\Sum{k=1}{10}\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} \\[4pt]
&=\Sum{k=1}{10}\dfrac{1}{2}\left\{\dfrac{1}{k(k+1)}-\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\right\} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1\Cdota2}-\dfrac{1}{11\Cdota12}\right) \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}\Cdota\dfrac{65}{11\Cdota12} \\[4pt]
&=\dfrac{65}{264}
\end{align*}
&\Sum{k=1}{10}\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} \\[4pt]
&=\Sum{k=1}{10}\dfrac{1}{2}\left\{\dfrac{1}{k(k+1)}-\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\right\} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1\Cdota2}-\dfrac{1}{11\Cdota12}\right) \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}\Cdota\dfrac{65}{11\Cdota12} \\[4pt]
&=\dfrac{65}{264}
\end{align*}