【数学IA】くじ引きの公平性【独立な試行の確率】

Contents

ページ1
1 独立な試行の確率
ページ2
1 くじ引きの公平性
2 くじ引きに関する確率

くじ引きの公平性

ヒロ

次の問題は実際に定期テストで出題されたもの。

問題当たりくじ2本が入ったくじ10本がある。いま，A君，Bさん，Cさんの3人がこの順に引いたくじを戻さずに，くじを引くことにしたら，Cさんからクレームが出た。「当たりが2本しかないので自分が引くとき，当たりがないことがあるので不公平だ」というものです。3人の当たる確率 $P(A),~P(B),~P(C)$ を計算し，Cさんを説得して下さい。

【Cさんを説得する】
最初にくじを引くA君の当たる確率を求める。
くじの引き方は10通りで，当たりくじの選び方は2通りだから，A君の当たる確率は

\begin{align*}
\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}
\end{align*}

次にBさんの当たる確率を求める。
Bさんが当たりくじを引くのは次の2つの場合がある。
　(i) A君が当たりくじを引いて，Bさんも当たりくじを引く。
　(ii) A君がはずれくじを引いて，Bさんが当たりくじを引く。
(i)が起こる確率は

\begin{align*}
\dfrac{2}{10}\Cdota\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{45}
\end{align*}

(ii)が起こる確率は

\begin{align*}
\dfrac{8}{10}\Cdota\dfrac{2}{9}=\dfrac{8}{45}
\end{align*}

(i)と(ii)は排反事象であるから，Bさんの当たる確率は

\begin{align*}
\dfrac{1}{45}+\dfrac{8}{45}=\dfrac{9}{45}=\dfrac{1}{5}
\end{align*}

Cさんの当たる確率を求めよう。
当たりくじを引くことを○で表し，はずれくじを引くことを×で表すことにする。
Cさんが当たりくじを引くのは次の3つ場合がある。
　(i) $(\text{A},~\text{B},~\text{C})=(○,~×,~○)$
　(ii) $(\text{A},~\text{B},~\text{C})=(×,~○,~○)$
　(iii) $(\text{A},~\text{B},~\text{C})=(×,~×,~○)$
(i)が起こる確率は

\begin{align*}
\dfrac{2}{10}\Cdota\dfrac{8}{9}\Cdota\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{45}
\end{align*}

(ii)が起こる確率は

\begin{align*}
\dfrac{8}{10}\Cdota\dfrac{2}{9}\Cdota\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{45}
\end{align*}

(iii)が起こる確率は

\begin{align*}
\dfrac{8}{10}\Cdota\dfrac{7}{9}\Cdota\dfrac{2}{8}=\dfrac{7}{45}
\end{align*}

(i)～(iii)は排反事象であるから，Cさんの当たる確率は

\begin{align*}
\dfrac{1}{45}+\dfrac{1}{45}+\dfrac{7}{45}=\dfrac{9}{45}=\dfrac{1}{5}
\end{align*}

以上より，3人の当たる確率はすべて $\dfrac{1}{5}$ で等しく，くじを引く順番は関係なく，くじ引きの公平性が示された。

くじ引きに関する確率

問題7本のくじがあり，そのうちの3本が当たりであるとする。このくじをまずAが同時に2本引き，次にBが同時に2本引く。このとき，次の場合の確率を求めよ。ただし，引いたくじは元に戻さないものとする。
(1) Aが1本だけ当たり，Bも1本だけ当たる。
(2) Bが1本だけ当たる。

【(1)の考え方と解答】
くじを2本引いて1本だけ当たるということは，もう1本ははずれであることを意識しよう。また，引いたくじを元に戻さないから，Bが引くときはくじの本数は5本になっていることに注意しよう。
Aが1本だけ当たり，Bも1本だけ当たる確率は，AとBがともに1本当たり，もう1本はずれを引く確率だから

\begin{align*}
\dfrac{3\Cdot4}{\nCk{7}{2}}\times\dfrac{2\Cdot3}{\nCk{5}{2}}&=\dfrac{12}{21}\times\dfrac{6}{10} \\[4pt]
&=\dfrac{12}{35}
\end{align*}

(2) Bが1本だけ当たる。

【(2)の考え方と解答】
Bが1本だけ当たるのは次の3つのパターンがある。
　(i) Aが2本当たり，Bが1本だけ当たる。
　(ii) Aが1本だけ当たり，Bも1本だけ当たる。
　(iii) Aがはずれを2本引いて，Bが1本だけ当たる。
(i)のときの確率は

\begin{align*}
\dfrac{\nCk{3}{2}}{\nCk{7}{2}}\times\dfrac{1\Cdot4}{\nCk{5}{2}}&=\dfrac{3}{21}\times\dfrac{4}{10} \\[4pt]
&=\dfrac{12}{210}=\dfrac{2}{35}
\end{align*}

(ii)のときの確率は，(1)より $\dfrac{12}{35}$
(iii)のときの確率は

\begin{align*}
\dfrac{\nCk{4}{2}}{\nCk{7}{2}}\times\dfrac{3\Cdot2}{\nCk{5}{2}}&=\dfrac{6}{21}\times\dfrac{6}{10} \\[4pt]
&=\dfrac{36}{210}=\dfrac{6}{35}
\end{align*}

(i)，(ii)より，求める確率は

\begin{align*}
\dfrac{2}{35}+\dfrac{12}{35}+\dfrac{6}{35}=\dfrac{20}{35}=\dfrac{4}{7}
\end{align*}