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【数学ⅡB】複素数の相等【慶應義塾大・立教大】

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複素数の相等数学IAIIB

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複素数の相等に関する問題【慶應義塾大】

2020年 慶應義塾大実数 $a,~b$,虚数単位 $i$ に対し,$(a+bi)^2=1+\sqrt{3}i$ が成り立っているとする。このとき,$(a-bi)^2=\myhako$ となる。また,$a>0$ ならば,$a=\myhako,~b=\myhako$ である。
【考え方と解答】
$(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi$ であり,これが $1+\sqrt{3}i$ と等しいとき
\begin{align*}
\begin{cases}
a^2-b^2=1 &\cdots\cdots① \\[4pt]
2ab=\sqrt{3} &\cdots\cdots②
\end{cases}
\end{align*}
が成り立つ。よって
\begin{align*}
(a-bi)^2&=a^2-b^2-2abi \\[4pt]
&=1-\sqrt{3}i
\end{align*}
$a\neq0$ であるから,②より $b=\dfrac{\sqrt{3}}{2a}$
①に代入すると
\begin{align*}
&a^2-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2a}\right)^2=1 \\[4pt]
&4a^4-4a^2-3=0 \\[4pt]
&(2a^2-3)(2a^2+1)=0
\end{align*}
$a>0$ より,$a=\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
このとき,$b=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Cdot\dfrac{2}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

複素数が実数になる条件【慶應義塾大】

2019年 慶應義塾大$A=\dfrac{\sqrt{-3}\sqrt{-2}+\sqrt{-2}}{a+\sqrt{-3}}$ が実数となるような $a$ を定めると,$a=\myhako$ であり,$A=\myhako$ である。
ヒロ
ヒロ

次の複素数が実数になる条件を考えよう。

複素数が実数になる条件$a,~b$ を実数とし,$i$ を虚数単位とする。
$a+bi$ が実数となるのは,$b=0$ となるときである。
【考え方と解答】
\begin{align*}
A&=\dfrac{\sqrt{3}i\Cdot\sqrt{2}i+\sqrt{2}i}{a+\sqrt{3}i} \\[4pt]
&=\dfrac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}i}{a+\sqrt{3}i}\Cdota\dfrac{a-\sqrt{3}i}{a-\sqrt{3}i} \\[4pt]
&=\dfrac{-\sqrt{6}a+\sqrt{6}+(\sqrt{2}a+3\sqrt{2})i}{a^2+3}
\end{align*}
$A$ が実数となるのは $\sqrt{2}a+3\sqrt{2}=0$ のとき,すなわち $a=-3$ のときである。このとき
\begin{align*}
A&=\dfrac{3\sqrt{6}+\sqrt{6}}{9+3}=\dfrac{4\sqrt{6}}{12}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}
\end{align*}

複素数の相等に関する問題2【立教大】

2015年 立教大実数 $x,~y$ が $\dfrac{i}{1+xi}+\dfrac{x+2}{y+i}=0$ を満たすとき,$x=\myhako,~y=\myhako$ である。ただし,$i$ は虚数単位とする。
【考え方と解答】
 分数の形だからといって,常に分母の実数化をしないといけないということはない。方程式の場合は,両辺に適当な複素数をかけて分母を払って考えるのも有効である。
 両辺に $(1+xi)(y+i)$ をかけると
\begin{align*}
&i(y+i)+(x+2)(1+xi)=0 \\[4pt]&x+1+(x^2+2x+y)i=0
\end{align*}
$x,~y$ は実数であるから
\begin{align*}
x+1=0~かつ~x^2+2x+y=0
\end{align*}
したがって,$x=-1,~y=1$
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