【数学IA】共通部分と和集合

ここでは集合の共通部分と和集合について説明します。

いくつかの集合を扱うときに，複数の集合に属する要素が存在することがあります。

そのような複数の集合の共通部分だけを表す方法と複数の集合全体を表す方法について説明します。

集合の共通部分と和集合

ヒロ

集合の共通部分と和集合を表す記号を知っておこう。

集合の共通部分2つの集合 $A,~B$ に対して，$A$ と $B$ のどちらにも属する要素全体の集合を $A$ と $B$ の共通部分といい，$A\cap B$ で表す。つまり

\begin{align*}
A\cap B=\{x\mid x\in A~かつ~x\in B\}
\end{align*}

ということである。

和集合2つの集合 $A,~B$ に対して，$A$ と $B$ の少なくとも一方に属する要素全体の集合を $A$ と $B$ の和集合といい，$A\cup B$ で表す。つまり

\begin{align*}
A\cup B=\{x\mid x\in A~または~x\in B\}
\end{align*}

ということである。

集合の共通部分と和集合に関する問題

ヒロ

それでは実際に定期テストで出題された問題を解いてみよう。

ヒロ

(1)は $A$ と $B$ の集合の要素がどうなっているかを調べよう。

ヒロ

(2)は $B$ と $C$ の集合の要素がどうなっているかを調べよう。

ヒロ

1つずつ丁寧に考えよう。

集合の共通部分と和集合に関する問題2

ヒロ

次の問題を解いてみよう。

ヒロ

要素に文字が使われているので，落ち着いて考えよう。

3つの集合の共通部分と和集合

ヒロ

3つの集合の共通部分と和集合についても知っておこう。

共通部分と和集合3つの集合 $A,~B,~C$ に対して，$A,~B,~C$ のどれにも属する要素全体の集合を $A,~B,~C$ の共通部分といい，$A\cap B\cap C$ で表す。つまり

\begin{align*}
A\cap B\cap C=\{x\mid x\in A~かつ~x\in B~かつ~x\in C\}
\end{align*}

ということである。

また，$A,~B,~C$ の少なくとも1つに属する要素全体の集合を $A,~B,~C$ の和集合といい，$A\cup B\cup C$ で表す。つまり

\begin{align*}
A\cup B\cup C=\{x\mid x\in A~または~x\in B~または~x\in C\}
\end{align*}

ということである。

集合の共通部分と和集合に関する問題3

ヒロ

次の問題を解いてみよう。

ヒロ

落ち着いて要素を見れば大丈夫だろう。