大学入試問題に出題される極限に関する証明問題では「はさみうちの原理」を利用するものが多いことが知られています。
不等式の証明の次の問題が極限を求める問題の場合は，証明した不等式を利用してはさみうちの原理を利用することが多いです。
また，その極限を求める問題に続いて，さらに極限を求める問題がある場合は，ちょっとした文字の置き換えで極限を求めることができる問題もあります。
今回はそのような入試でよくあるパターンについて解説します。
有名な極限の問題
ヒロ
それでは次の問題を解いてみよう。
有名な極限の問題(1) $x>1$ のとき，$0<\log x<\sqrt{x}$ が成り立つことを示せ。
(2) $\dlim{x\to\infty}\dfrac{\log x}{x}$ を求めよ。
(3) $\dlim{x\to+0}x\log x$ を求めよ。
(2) $\dlim{x\to\infty}\dfrac{\log x}{x}$ を求めよ。
(3) $\dlim{x\to+0}x\log x$ を求めよ。
(1)の考え方と解答
(1)はグラフを利用すれば証明できますね。
$f(x)>a$ の証明$f(x)$ の最小値が $a$ より大きいことを示す。
ヒロ
解答を書いていこう。
【(1)の解答】
$f(x)=\sqrt{x}-\log x$ とおくと，
したがって，$x>1$ のとき，
$f(x)=\sqrt{x}-\log x$ とおくと，
\begin{align*}
f'(x)&=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac1x=\dfrac{\sqrt{x}-2}{2x}
\end{align*}
$f'(x)=0$ とすると，f'(x)&=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac1x=\dfrac{\sqrt{x}-2}{2x}
\end{align*}
\begin{align*}
&\sqrt{x}-2=0 \\[4pt]
&x=4
\end{align*}
よって，$f(x)$ の増減は次のようになる。&\sqrt{x}-2=0 \\[4pt]
&x=4
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline
x & 0 & \cdots & 4 & \cdots \\[4pt]\hline
f'(x) & & – & 0 & + \\[4pt]\hline
f(x) & & \searrow & & \nearrow \\[4pt]\hline
\end{array}
\end{align*}
ここで\begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline
x & 0 & \cdots & 4 & \cdots \\[4pt]\hline
f'(x) & & – & 0 & + \\[4pt]\hline
f(x) & & \searrow & & \nearrow \\[4pt]\hline
\end{array}
\end{align*}
\begin{align*}
f(4)&=2-\log4 \\[4pt]
&=2(1-\log2)>0~(~\because~ e>2)
\end{align*}
であるから，$x>0$ において，$f(x)>0$ が成り立つ。f(4)&=2-\log4 \\[4pt]
&=2(1-\log2)>0~(~\because~ e>2)
\end{align*}
したがって，$x>1$ のとき，
\begin{align*} 0<\log x<\sqrt{x} \end{align*}
が成り立つ。(2)の考え方と解答
(2) $\dlim{x\to\infty}\dfrac{\log x}{x}$ を求めよ。
ヒロ
この極限はどうやって求める？
(1)で不等式の証明をしているので「はさみうちの原理」を利用すれば求められるはずです。
ヒロ
そうだね。
【(2)の解答】
(1)より $x>1$ のとき $0<\log x<\sqrt{x}$ が成り立つから，両辺を $x~(>0)$ で割ると
(1)より $x>1$ のとき $0<\log x<\sqrt{x}$ が成り立つから，両辺を $x~(>0)$ で割ると
\begin{align*}
0<\dfrac{\log x}{x}<\dfrac{1}{\sqrt{x}} \end{align*}
となる。ここで 0<\dfrac{\log x}{x}<\dfrac{1}{\sqrt{x}} \end{align*}
\begin{align*} \dlim{x\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=0 \end{align*}
であるから，はさみうちの原理より \begin{align*} \dlim{x\to\infty}\dfrac{\log x}{x}=0 \end{align*}
(3)の考え方と解答
(3) $\dlim{x\to+0}x\log x$ を求めよ。
これは流れとしては(2)を利用するのだと思います。
ヒロ
いいね。ではどうすれば利用できるかを考えよう。
(2)では $x$ を $\infty$ に近づけているけど，(3)では $x$ を0に近づけてます。
ということは $\dfrac{1}{x}=t$ とおけば，うまくいきそうです。
【(3)の解答】
$\dfrac{1}{x}=t$ とおくと，$x\to\infty$ のとき，$t\to+0$ であるから，(2)の結果より
$\dfrac{1}{x}=t$ とおくと，$x\to\infty$ のとき，$t\to+0$ であるから，(2)の結果より
\begin{align*}
&\dlim{x\to\infty}\dfrac{\log x}{x}=0 \\[4pt]
&\dlim{t\to+0}\dfrac{\log\dfrac{1}{t}}{\dfrac{1}{t}}=0 \\[4pt]
&\dlim{t\to+0}t\log\dfrac{1}{t}=0 \\[4pt]
&\dlim{t\to+0}(-t\log t)=0 \\[4pt]
&\dlim{t\to+0}t\log t=0
\end{align*}
よって，$\dlim{x\to+0}x\log x=0$&\dlim{x\to\infty}\dfrac{\log x}{x}=0 \\[4pt]
&\dlim{t\to+0}\dfrac{\log\dfrac{1}{t}}{\dfrac{1}{t}}=0 \\[4pt]
&\dlim{t\to+0}t\log\dfrac{1}{t}=0 \\[4pt]
&\dlim{t\to+0}(-t\log t)=0 \\[4pt]
&\dlim{t\to+0}t\log t=0
\end{align*}
まとめ
ヒロ
今回は誘導を付けたけど，誘導がなく $\dlim{x\to+0}x\log x=0$ を証明しめす必要がある問題もある。
ヒロ
そのときのために，今回扱った一連の流れを自分で再現できるようしておこう。