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【数学ⅡB】指数不等式【信州大・立教大・西南学院大・秋田県立大】

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指数不等式数学IAIIB

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2020年 立教大

2019年 立教大不等式 $4\Cdot4^x+2^{x+4}+3\Cdot2^x-5\leqq0$ を満たす実数 $x$ の範囲は,$x\leqq\myhako$ である。
【考え方と解答】
 $2^x=t$ とおくと,$4^x=t^2$ と表せることに気付くようにしよう。瞬時に分かるようになれば,2次不等式に帰着させることができる問題だと分かる。
 $2^x=t$ とおくと,$t>0$ である。与えられた不等式より
\begin{align*}
&4t^2+16t+3t-5\leqq0 \\[4pt]
&4t^2+19t-5\leqq0 \\[4pt]
&(t+5)(4t-1)\leqq0
\end{align*}
$t>0$ であるから
\begin{align*}
&4t-1\leqq0 \\[4pt]
&t\leqq\dfrac{1}{4} \\[4pt]
&2^x\leqq2^{-2} \\[4pt]
&x\leqq-2
\end{align*}

2020年 西南学院大

2020年 西南学院大$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2x}-\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{1}{2}\right)^x+\dfrac{1}{32}>0$ を満たす $x$ の範囲は $x<\myhako$ または $x>\myhako$ である。
【考え方と解答】
 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x=t$ とおくと,$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2x}=t^2$ と表せる。2次不等式に帰着させることができるから,底が1より小さいことに注意して解くだけだ。
 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x=t$ とおくと,$t>0$ である。与えられた不等式より
\begin{align*}
&t^2-\dfrac{3}{8}t+\dfrac{1}{32}>0 \\[4pt]
&\left(t-\dfrac{1}{4}\right)\left(t-\dfrac{1}{8}\right)>0 \\[4pt]
&t<\dfrac{1}{8},~\dfrac{1}{4}<t \\[4pt] &\left(\dfrac{1}{2}\right)^x<\dfrac{1}{8},~\dfrac{1}{4}<\left(\dfrac{1}{2}\right)^x \\[4pt] &x<-2,~3<x \end{align*}

2020年 秋田県立大

2020年 秋田県立大不等式 $4^{-x}-2^{-x}-2\geqq0$ を解け。
【考え方と解答】
 $2^{-x}=t$ とおくと,$t>0$ である。与えられた不等式より
\begin{align*}
&t^2-t-2\geqq0 \\[4pt]
&(t-2)(t+1)\geqq0
\end{align*}
$t+1>0$ であるから
\begin{align*}
&t\geqq2 \\[4pt]
&2^{-x}\geqq2 \\[4pt]
&-x\geqq1 \\[4pt]
&x\leqq-1
\end{align*}
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