2020年センター試験 数学ⅠA 第1問 二次関数

2020年センター試験数学ⅠA 第1問二次関数の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2020年センターⅠA 第1問二次関数　$c$ を定数とする。2次関数 $y=x^2$ のグラフを，2点 $(c,~0)$, $(c+4,~0)$ を通るように平行移動して得られるグラフを $G$ とする。
(1) $G$ をグラフにもつ2次関数は，$c$ を用いて

\begin{align*}
y=x^2-2\left(c+\myBox{ツ}\right)x+c\left(c+\myBox{テ}\right)
\end{align*}

と表せる。
　2点 $(3,~0)$, $(3,~-3)$ を両端とする線分と $G$ が共有点をもつような $c$ の値の範囲は

\begin{align*}
-\myBox{ト}\leqq c\leqq\myBox{ナ},~\myBox{ニ}\leqq c\leqq\myBox{ヌ}
\end{align*}

である。
(2) $\mybox{ニ}\leqq c\leqq\mybox{ヌ}$ の場合を考える。$G$ が点 $(3,~-1)$ を通るとき，$G$ は2次関数 $y=x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $\myBox{ネ}+\sqrt{\myBox{ノ}}$，$y$ 軸方向に $\myBox{ハヒ}$ だけ平行移動したものである。また，このとき $G$ と $y$ 軸との交点の $y$ 座標は $\myBox{フ}+\myBox{ヘ}\sqrt{\myBox{ホ}}$ である。

Contents

1 (1)の考え方と解答
2 (2)の考え方と解答
3 2020年センター数学ⅠA 二次関数を解いた感想

(1)の考え方と解答

ヒロ

通る2点の座標と $x^2$ の係数から頂点の座標をサクッと求めてしまおう。

【ツテの解答】
2点 $(c,~0)$, $(c+4,~0)$ を通るグラフ $G$ の頂点の $x$ 座標は $c+2$ である。
また，グラフ $G$ が $x$ 軸から切り取る線分の長さが4であるから，2乗に比例する性質を利用すると，頂点の $y$ 座標は $-4$ であることが分かる。

よって，求める2次関数は

\begin{align*}
y&=\{x-(c+2)\}^2-4 \\[4pt]
&=x^2-2(c+2)x+(c+2)^2-4 \\[4pt]
&=x^2-2(c+2)x+c(c+4)
\end{align*}

ヒロ

次は $y$ 軸に平行な線分とグラフ $G$ が共有点をもつ条件を求める問題。

【ト～ヌの解答】
条件を満たすのは，$x=3$ のときの $y$ が $-3$ 以上0以下の範囲になるときだから

\begin{align*}
&-3\leqq\{3-(c+2)\}^2-4\leqq0 \\[4pt]
&1\leqq(c-1)^2\leqq4 \\[4pt]
&-2\leqq c-1\leqq-1,~1\leqq c-1\leqq2 \\[4pt]
&-1\leqq c\leqq0,~2\leqq c\leqq3
\end{align*}

ヒロ

$c$ が一か所に集まっている平方完成された式を利用するのが楽だね。

(2)の考え方と解答

(2) $\mybox{ニ}\leqq c\leqq\mybox{ヌ}$ の場合を考える。$G$ が点 $(3,~-1)$ を通るとき，$G$ は2次関数 $y=x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $\myBox{ネ}+\sqrt{\myBox{ノ}}$，$y$ 軸方向に $\myBox{ハヒ}$ だけ平行移動したものである。また，このとき $G$ と $y$ 軸との交点の $y$ 座標は $\myBox{フ}+\myBox{ヘ}\sqrt{\myBox{ホ}}$ である。