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2点が直線に関してどのような位置関係にあるかチェックする方法
ヒロ
2点が直線に関して反対側にあるのか，同じ側にあるのかを確認したいときに，わざわざ図を描くのは面倒だと感じる人は多いだろう。
ヒロ
図を描けばすぐに確認できるが，図を描かずに確認したいときもあるだろう。
ヒロ
そんな場合に2点の位置関係を確認する方法を説明しておく。
【2点の位置関係を確認する方法】
直線 $l$ の方程式が $y=f(x)$ で表されているとし，2点A，Bの座標がA$(a,~b)$，B$(c,~d)$であるとする。点Aの座標について，$f(a)$ と $b$ の大小関係を調べる。仮に $b>f(a)$ となったとする。次に点Bの座標について，$f(c)$ と $d$ の大小関係を調べて，$d>f(c)$ となれば2点A，Bは直線 $l$ に関して同じ側にある。分かりにくいとは思うが，成り立つ不等号が同じ向きであれば，2点は直線に関して同じ側にあるし，不等号の向きが逆であれば，2点は直線に関して反対側にある。
直線 $l$ の方程式が $ax+by+c=0$ と一般形で与えられている場合もほとんど同じである。2点A，Bの座標を左辺の $ax+by+c$ に代入すると正か負のどちらかになるから，符号が等しければ同じ側，符号が異なれば反対側だと判断すればよい。
距離が最小になるように点を定める問題【国士舘大】
2015年 国士舘大 座標平面において，点A$(3,~5)$ とし，点Pを直線 $y=-\dfrac{1}{2}x+4$ 上の点とする。次の問に答えよ。
(1) 点B$(13,~-5)$ とするとき，$\text{AP}+\text{PB}$ を最小にする点Pの座標はP$\left(\myBox{ア},~\myBox{イ}\right)$ である。また，このとき，$\text{AP}+\text{PB}=\myBox{ウエ}\sqrt{\myBox{オ}}$ である。
(2) 点Qを直線 $y=-3x+34$ 上の点とする。点Pと点Qをともに動かすとき，$\text{AP}+\text{PQ}$ を最小にする点Pと点Qの座標は，それぞれP$\left(\myBox{カ},~\myBox{キ}\right)$，Q$\left(\myBox{クケ},~\myBox{コ}\right)$ である。
また，このとき $\text{AP}+\text{PQ}=\myBox{サ}\sqrt{\myBox{シス}}$ である。
(1) 点B$(13,~-5)$ とするとき，$\text{AP}+\text{PB}$ を最小にする点Pの座標はP$\left(\myBox{ア},~\myBox{イ}\right)$ である。また，このとき，$\text{AP}+\text{PB}=\myBox{ウエ}\sqrt{\myBox{オ}}$ である。
(2) 点Qを直線 $y=-3x+34$ 上の点とする。点Pと点Qをともに動かすとき，$\text{AP}+\text{PQ}$ を最小にする点Pと点Qの座標は，それぞれP$\left(\myBox{カ},~\myBox{キ}\right)$，Q$\left(\myBox{クケ},~\myBox{コ}\right)$ である。
また，このとき $\text{AP}+\text{PQ}=\myBox{サ}\sqrt{\myBox{シス}}$ である。
【(1)の考え方と解答】
直線 $y=-\dfrac{1}{2}x+4~\cdots\cdots①$ を $l$ とする。2点A，Bが $l$ に関して同じ側にあるのか，反対側にあるのかを確認する。点Aの座標に対して
個人的には，この結果に少し違和感を抱いた。通常の入試問題なら，2点A，Bが直線 $l$ に関して同じ側にあり，対称点をとって考えることが多い。しかし，この問題は2点A，Bが直線 $l$ に関して反対側にある。これだと簡単に解けてしまう。
実際，$\text{AP}+\text{PB}$ を最小にする $l$ 上の点Pは，直線ABと直線 $l$ の交点である。直線ABの傾きは
よって，求める点Pの座標はP$(8,~0)$ である。
このとき，$\text{AP}+\text{PB}=\text{AB}$ であるから
直線 $y=-\dfrac{1}{2}x+4~\cdots\cdots①$ を $l$ とする。2点A，Bが $l$ に関して同じ側にあるのか，反対側にあるのかを確認する。点Aの座標に対して
\begin{align*}
5>-\dfrac{1}{2}\Cdota3+4
\end{align*}
となる。また，点Bの座標に対して5>-\dfrac{1}{2}\Cdota3+4
\end{align*}
\begin{align*}
-5<-\dfrac{1}{2}\Cdota13+4
\end{align*}
となるから，2点A，Bは直線 $l$ に関して反対側にある。図を描けば次のように，2点A，Bが $l$ に関して反対側にあることが確認できる。-5<-\dfrac{1}{2}\Cdota13+4
\end{align*}
個人的には，この結果に少し違和感を抱いた。通常の入試問題なら，2点A，Bが直線 $l$ に関して同じ側にあり，対称点をとって考えることが多い。しかし，この問題は2点A，Bが直線 $l$ に関して反対側にある。これだと簡単に解けてしまう。
実際，$\text{AP}+\text{PB}$ を最小にする $l$ 上の点Pは，直線ABと直線 $l$ の交点である。直線ABの傾きは
\begin{align*}
\dfrac{-5-5}{13-3}=-1
\end{align*}
であるから，直線ABの方程式は\dfrac{-5-5}{13-3}=-1
\end{align*}
\begin{align*}
&y=-(x-3)+5 \\[4pt]&y=-x+8~\cdots\cdots②
\end{align*}
②を①に代入すると&y=-(x-3)+5 \\[4pt]&y=-x+8~\cdots\cdots②
\end{align*}
\begin{align*}
&-x+8=-\dfrac{1}{2}x+4 \\[4pt]&x=8
\end{align*}
このとき，②より $y=0$&-x+8=-\dfrac{1}{2}x+4 \\[4pt]&x=8
\end{align*}
よって，求める点Pの座標はP$(8,~0)$ である。
このとき，$\text{AP}+\text{PB}=\text{AB}$ であるから
\begin{align*}
\text{AB}&=\sqrt{(13-3)^2+(-5-5)^2} \\[4pt]&=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2}
\end{align*}
\text{AB}&=\sqrt{(13-3)^2+(-5-5)^2} \\[4pt]&=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2}
\end{align*}
(2) 点Qを直線 $y=-3x+34$ 上の点とする。点Pと点Qをともに動かすとき，$\text{AP}+\text{PQ}$ を最小にする点Pと点Qの座標は，それぞれP$\left(\myBox{カ},~\myBox{キ}\right)$，Q$\left(\myBox{クケ},~\myBox{コ}\right)$ である。
また，このとき $\text{AP}+\text{PQ}=\myBox{サ}\sqrt{\myBox{シス}}$ である。
【(2)の考え方と解答】
PとQの2点を動かす問題であるが，落ち着いて考えよう。直線 $y=-3x+34$ を $m$ とする。とりあえず深く考えずに $l$ 上に点P，$m$ 上に点Qをとると次のようになる。
上図の状態だと，2点A，Qが直線 $l$ に関して同じ側にあるから，面倒だなと感じるだろう。2直線 $l,~m$ の交点をRとして，点Qが点Rより右側になるようにすると，2点A，Qが直線 $l$ に関して反対側にある状態になる。
ここでふと(1)が頭によぎる。「もし(1)の点Bが直線 $m$ 上にあったら楽なのになぁ・・・」と思うことだろう。そして(1)で抱いた違和感や(1)の問題が簡単だった理由も，ここにあるのではないだろうかなどと考えてしまう。ということで点Bが直線 $m$ 上にあるかどうかをチェックしてみよう。点Bの $x$ 座標が13であり，$m:y=-3x+34$ に $x=13$ を代入すると
(1)の結果より，この場合に $\text{AP}+\text{PQ}$ が最小になるのは，点Qが点B$(13,~-5)$ に一致するときである。このときの点Pの座標は $(4,~2)$ であり，$\text{AP}+\text{PQ}$ の最小値は $10\sqrt{2}$ である。
しかし「これは(2)の解ではないだろう」と思うはず。これが解なら簡単すぎるということになるし，今回の問題は空欄を埋めるタイプで，そもそも空欄に当てはまらないから解でないことが確定する。ということで，点Aを $l$ に関して対称移動させて考える。
$l$ に関して点Aと対称な点A$’$ を考えることで，
ゴールまでの道筋も見えたから，点A$’$ の座標を求めて解答を前進させよう。
点A$’$ の座標を $(X,~Y)$ とおくとAA$’$の中点が直線 $l$ 上にあるから
よって，A$'(1,~1)$
次に，点A$’$ を通り，直線 $m$ に垂直な直線 $n$ の方程式を求める。$m$ の傾きは $-3$ であるから，$n$ の方程式は
よって，P$(4,~2)$ である。
また，点Qは2直線 $m,~n$ の交点であるから
よって，Q$(10,~4)$ である。
したがって，$\text{AP}+\text{PQ}$ の最小値は
点A$’$ と直線 $m:3x+y-34=0$ との距離を $d$ とすると
上図の状態だと，2点A，Qが直線 $l$ に関して同じ側にあるから，面倒だなと感じるだろう。2直線 $l,~m$ の交点をRとして，点Qが点Rより右側になるようにすると，2点A，Qが直線 $l$ に関して反対側にある状態になる。
ここでふと(1)が頭によぎる。「もし(1)の点Bが直線 $m$ 上にあったら楽なのになぁ・・・」と思うことだろう。そして(1)で抱いた違和感や(1)の問題が簡単だった理由も，ここにあるのではないだろうかなどと考えてしまう。ということで点Bが直線 $m$ 上にあるかどうかをチェックしてみよう。点Bの $x$ 座標が13であり，$m:y=-3x+34$ に $x=13$ を代入すると
\begin{align*}
y=-3\times13+34=-5
\end{align*}
となり点Bの $y$ 座標に一致する。つまり，点Bは直線 $m$ 上にあることが分かる。y=-3\times13+34=-5
\end{align*}
(1)の結果より，この場合に $\text{AP}+\text{PQ}$ が最小になるのは，点Qが点B$(13,~-5)$ に一致するときである。このときの点Pの座標は $(4,~2)$ であり，$\text{AP}+\text{PQ}$ の最小値は $10\sqrt{2}$ である。
しかし「これは(2)の解ではないだろう」と思うはず。これが解なら簡単すぎるということになるし，今回の問題は空欄を埋めるタイプで，そもそも空欄に当てはまらないから解でないことが確定する。ということで，点Aを $l$ に関して対称移動させて考える。
$l$ に関して点Aと対称な点A$’$ を考えることで，
\begin{align*}
\text{AP}+\text{PQ}=\text{A}’\text{P}+\text{PQ}
\end{align*}
となる。折れ線A$’$PQの長さが最小になるような2点P，Qを考える。それは3点A$’$，P，Qが一直線上にあるときであるから\text{AP}+\text{PQ}=\text{A}’\text{P}+\text{PQ}
\end{align*}
\begin{align*}
\text{AP}+\text{PQ}\geqq\text{A}’\text{Q}
\end{align*}
が成り立つ。さらに，A$’$Qの長さが最小になるのは，A$’$Qと直線 $m$ が垂直になるときである。\text{AP}+\text{PQ}\geqq\text{A}’\text{Q}
\end{align*}
ゴールまでの道筋も見えたから，点A$’$ の座標を求めて解答を前進させよう。
点A$’$ の座標を $(X,~Y)$ とおくとAA$’$の中点が直線 $l$ 上にあるから
\begin{align*}
&\dfrac{Y+5}{2}=-\dfrac{1}{2}\Cdota\dfrac{X+3}{2}+4 \\[4pt]&X+2Y=3~\cdots\cdots①
\end{align*}
AA$’$ と $l$ が垂直であるから&\dfrac{Y+5}{2}=-\dfrac{1}{2}\Cdota\dfrac{X+3}{2}+4 \\[4pt]&X+2Y=3~\cdots\cdots①
\end{align*}
\begin{align*}
&\dfrac{Y-5}{X-3}\Cdota\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-1 \\[4pt]&2X-Y=1~\cdots\cdots②
\end{align*}
①，②を解いて，$X=1,~Y=1$&\dfrac{Y-5}{X-3}\Cdota\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-1 \\[4pt]&2X-Y=1~\cdots\cdots②
\end{align*}
よって，A$'(1,~1)$
次に，点A$’$ を通り，直線 $m$ に垂直な直線 $n$ の方程式を求める。$m$ の傾きは $-3$ であるから，$n$ の方程式は
\begin{align*}
&y=\dfrac{1}{3}(x-1)+1 \\[4pt]&y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}
\end{align*}
点Pは2直線 $l,~n$ の交点であるから&y=\dfrac{1}{3}(x-1)+1 \\[4pt]&y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{cases}
y=-\dfrac{1}{2}x+4 &\cdots\cdots③ \\[4pt]y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3} &\cdots\cdots④
\end{cases}
\end{align*}
を解く。③，④より $y$ を消去すると\begin{cases}
y=-\dfrac{1}{2}x+4 &\cdots\cdots③ \\[4pt]y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3} &\cdots\cdots④
\end{cases}
\end{align*}
\begin{align*}
&\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{2}x+4 \\[4pt]&\dfrac{5}{6}x=\dfrac{10}{3} \\[4pt]&x=4
\end{align*}
③より，$y=2$&\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{2}x+4 \\[4pt]&\dfrac{5}{6}x=\dfrac{10}{3} \\[4pt]&x=4
\end{align*}
よって，P$(4,~2)$ である。
また，点Qは2直線 $m,~n$ の交点であるから
\begin{align*}
\begin{cases}
y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3} &\cdots\cdots④ \\[4pt]y=-3x+34 &\cdots\cdots⑤
\end{cases}
\end{align*}
を解く。④，⑤より $y$ を消去すると\begin{cases}
y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3} &\cdots\cdots④ \\[4pt]y=-3x+34 &\cdots\cdots⑤
\end{cases}
\end{align*}
\begin{align*}
&\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}=-3x+34 \\[4pt]&x+2=-9x+102 \\[4pt]&x=10
\end{align*}
⑤より，$y=4$&\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}=-3x+34 \\[4pt]&x+2=-9x+102 \\[4pt]&x=10
\end{align*}
よって，Q$(10,~4)$ である。
したがって，$\text{AP}+\text{PQ}$ の最小値は
\begin{align*}
\text{A}’\text{Q}&=\sqrt{(10-1)^2+(4-1)^2} \\[4pt]&=\sqrt{90}=3\sqrt{10}
\end{align*}
「点と直線の距離の公式」を利用して次のように求めても良い。\text{A}’\text{Q}&=\sqrt{(10-1)^2+(4-1)^2} \\[4pt]&=\sqrt{90}=3\sqrt{10}
\end{align*}
点A$’$ と直線 $m:3x+y-34=0$ との距離を $d$ とすると
\begin{align*}
d&=\dfrac{\abs{3\Cdot1+1-34}}{\sqrt{3^2+1^2}} \\[4pt]&=\dfrac{30}{\sqrt{10}}=3\sqrt{10}
\end{align*}
d&=\dfrac{\abs{3\Cdot1+1-34}}{\sqrt{3^2+1^2}} \\[4pt]&=\dfrac{30}{\sqrt{10}}=3\sqrt{10}
\end{align*}