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二桁の整数の積を速く計算する方法

二桁の整数の積を速く計算する方法数学IAIIB
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限られた時間内に問題を解く試験において,速く計算できることはそれだけで有利なことであることは言うまでもありません。

過去にそろばん十段を持っている生徒を指導したことがありますが,計算スピードのあまりの速さに唖然としてしまいました。

そろばん十段を取るのは無理だとしても,誰でもできる速算法を知って,使えるようにすれば,特定の計算においては今までよりかなり速く計算をすることができるようになります。

ここでは,大学受験の数学の計算でもよく出てくる二桁の整数の積について「この形が出てきたら速く計算できる!」となるようにしておくと良いでしょう。

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一の位が5の二桁の整数の2乗を速く計算する方法

ヒロ
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一の位が5の二桁の整数の2乗は2秒で計算できる。

【計算の流れ】
  1. 十の位の数字と十の位に1を加えた数字の積を上二桁として書く。
  2. 下二桁には25を書く。
ヒロ
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具体例を示しておこう。

【具体例】
$35^2$ の場合は,十の位の数字が3だから,$3\times4$ を計算して12が上二桁となる。下二桁は25だから
\begin{align*}
35^2=1225
\end{align*}
となる。$25^2$ の場合は,十の位の数字が2だから,$2\times3$ を計算して6を書いて,その右に25を付けて
\begin{align*}
25^2=625
\end{align*}
となる。

一の位が5の二桁の整数の2乗の速算の証明

ヒロ
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証明しておこう。

【証明】
\begin{align*}
(10a+5)^2&=100a^2+100a+25
\end{align*}
これを次のように変形するのがポイント。
\begin{align*}
(10a+5)^2=100a(a+1)+25
\end{align*}
これは $a(a+1)$ を100倍して25を加える計算だから,下二桁は必ず25になる。
つまり,十の位の数字とそれに1を加えた数字の積を上二桁の数字にして,下二桁を25にすれば良いという結果になる。

十の位が等しく,十の位と一の位の和が10の二桁の整数の積を速く計算する方法

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最初に説明した一の位の数字が5の二桁の2乗の一般形が今から説明するものになる。

ヒロ
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具体的には $11\times19$ や $53\times57$ のように,十の位が等しく,十の位と一の位の和が10になっている積を速く計算する方法を紹介する。

【計算の流れ】
  1. 十の位の数字と十の位に1を加えた数の積を上二桁として書く。
  2. 一の位の数字の積を下二桁として書く。
ヒロ
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具体的には次のようになる。

【具体例】
$11\times19$ の場合は,十の位の数字が1だから,$1\times2$ を計算して,2を書く。
一の位の積は $1\times9=9$ だから
\begin{align*}
11\times19=209
\end{align*}
となる。$53\times57$ の場合は,十の位の数字が2だから,$5\times6$ を計算して30を上二桁として
書いて,一の位の積 $5\times7$ の結果の35を下二桁として書いて次のようになる。
\begin{align*}
53\times57=3035
\end{align*}

十の位が等しく,十の位と一の位の和が10の二桁の整数の積の速算の証明

ヒロ
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最初の速算と同様,証明しておこう。

【証明】
2つの数を $10a+b,~10a+c$(ただし $b+c=10~\cdots\cdots①$)とすると
\begin{align*}
(10a+b)(10a+c)&=100a^2+10a(b+c)+bc
\end{align*}
①より
\begin{align*}
(10a+b)(10a+c)&=100a^2+100a+bc \\[4pt]
&=100a(a+1)+bc
\end{align*}
これは $a(a+1)$ を100倍して $bc$ を加える計算だから,十の位の数字と
それに1を加えた数字の積を上二桁の数字にして,下二桁を $bc$ にすれば良いという結果になる。

十の位の和が10で,一の位が等しい二桁の整数の積を速く計算する方法

ヒロ
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$24\times84$ や $47\times67$ のように,十の位の和が10で,一の位が等しい二桁の整数の積を速く計算する方法を紹介する。

【計算の流れ】
  1. 十の位の数字の積に一の位の数を加えた数を上二桁として書く。
  2. 一の位の数の2乗を下二桁として書く。
ヒロ
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具体的には次のようになる。

【具体例】
$24\times84$ の場合は,$2\times8+4$ を計算した結果20を上二桁にする。
下二桁は $4^2=16$ だから
\begin{align*}
24\times84=2016
\end{align*}
となる。$47\times67$ の場合は,$4\times6+7=31$ を上二桁にして,下二桁は $7^2=49$ だから
\begin{align*}
47\times67=3149
\end{align*}
となる。

十の位の和が10で,一の位が等しい二桁の整数の積の速算の証明

ヒロ
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これも証明しておこう。

【証明】
2つの数を $10a+c,~10b+c$(ただし $a+b=10~\cdots\cdots①$)とすると
\begin{align*}
(10a+c)(10b+c)&=100ab+10(a+b)c+c^2
\end{align*}
①より
\begin{align*}
(10a+c)(10b+c)&=100ab+100c+c^2 \\[4pt]
&=100(ab+c)+c^2
\end{align*}
これは $ab+c$ を100倍して $c^2$ を加える計算だから,十の位の数字の積に
一の位の数を加えた値を上二桁の数字にして,下二桁を $c^2$ にすれば良いという結果になる。

二桁の整数と11の積を速く計算する方法

ヒロ
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$42\times11$ や $68\times11$ のように,二桁の整数と11の積を速く計算する方法を紹介する。

【計算の流れ】
  1. 十の位と一の位の和が9以下なら,十の位と一の位の2数を1桁分空けて書く。十の位と一の位の和が10以上なら,十の位の数に1を加えた数と一の位の数を1桁分空けて書く。
  2. 十の位と一の位の和の一の位を空けた間に書く。
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具体的には次のようになる。

【具体例】
$42\times11$ の場合は,「4 2」のように4と2の間を空けて書いて,間に4と2の和6を書けば良いから
\begin{align*}
42\times11=462
\end{align*}
となる。$68\times11$ の場合は $6+8=14$ だから
\begin{align*}
68\times11=748
\end{align*}
となる。
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これは筆算を考えれば理屈を理解できるだろう。

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次のような問題のように,ちょっとしたところで利用できるので使えるようにしておくと良いと思う。

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